有理数的思维导图初一

整数与分数的统称
可以表示成 p/q (q≠0) 的数
1.1 定义:
正整数:1, 2, 3, ... (自然数)
0
负整数:-1, -2, -3, ...
整数:
正分数:1/2, 3/4, ...
负分数:-1/2, -3/4, ...
分数:
按定义分:
正有理数:正整数和正分数
0
负有理数:负整数和负分数
按性质分:
1.2 分类:
π (圆周率) 不是有理数,是无理数。
有限小数和无限循环小数都可以化为分数,因此是有理数。
无限不循环小数是无理数。
1.3 注意事项:
一、 有理数的概念
规定了原点、正方向和单位长度的直线。
2.1 定义:
原点:数轴上表示0的点。
正方向:数轴上规定的方向 (通常是向右)。
单位长度:表示1的线段的长度。
2.2 要素:
直观地表示数。
比较数的大小。
体现数形结合的思想。
2.3 作用:
每一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
反之,数轴上的每一个点不一定都表示有理数 (例如,表示√2的点)。
2.4 数轴上的点与有理数的对应关系:
二、 数轴
只有符号不同的两个数互为相反数。
3.1 定义:
a 的相反数是 -a。
3.2 表示:
a + (-a) = 0
0 的相反数是 0。
双重符号化简: -(-a) = a
数轴上表示相反数的两个点到原点的距离相等。
3.3 性质:
数轴上,表示相反数的两个点关于原点对称。
3.4 几何意义:
三、 相反数
数轴上表示数 a 的点到原点的距离,记作 |a|。
4.1 定义:
|a| = a (当 a ≥ 0 时)
|a| = -a (当 a < 0 时)
4.2 计算:
|a| ≥ 0 (绝对值非负性)
|a| = |-a| (互为相反数的两个数的绝对值相等)
若 |a| = |b|,则 a = b 或 a = -b
|a| = 0,则 a = 0
4.3 性质:
表示数轴上的点到原点的距离。
4.4 几何意义:
四、 绝对值
在数轴上,右边的数总比左边的数大。
5.1 数轴比较法:
正数 > 0 > 负数
两个负数,绝对值大的反而小。
5.2 法则比较法:
多个数比较,可借助数轴或法则,分组比较。
5.3 特殊情况:
五、 有理数的大小比较
同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加。
异号两数相加,绝对值相等时和为0;绝对值不相等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
一个数同0相加,仍得这个数。
6.1 法则:
加法交换律: a + b = b + a
加法结合律: (a + b) + c = a + (b + c)
6.2 运算律:
凑整法:将能凑成整数的数先加。
同号结合法:将正数和正数结合,负数和负数结合。
相反数结合法:将互为相反数的数先加。
6.3 简便运算:
六、 有理数的加法
减去一个数,等于加上这个数的相反数。
a - b = a + (-b)
7.1 法则:
减法运算转化为加法运算。
7.2 注意:
七、 有理数的减法
两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘。
任何数同0相乘,都得0。
8.1 法则:
乘法交换律: a × b = b × a
乘法结合律: (a × b) × c = a × (b × c)
乘法分配律: a × (b + c) = a × b + a × c
8.2 运算律:
几个不等于0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定:负因数有偶数个时,积为正数;负因数有奇数个时,积为负数。
几个数相乘,有一个因数为0,积就为0。
8.3 多个数相乘:
八、 有理数的乘法
除以一个不等于0的数,等于乘以这个数的倒数。
a ÷ b = a × (1/b) (b≠0)
两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。 0除以任何一个不等于0的数,都得0。
9.1 法则:
除法运算转化为乘法运算。
9.2 注意:
九、 有理数的除法
求 n 个相同因数 a 的积的运算叫做乘方,乘方的结果叫做幂。
an (a 为底数,n 为指数)
10.1 定义:
an 表示 n 个 a 相乘。
10.2 意义:
正数的任何次幂都是正数。
负数的奇数次幂是负数,负数的偶数次幂是正数。
0的任何正整数次幂都是0。
10.3 性质:
任何非零数的0次幂等于1。
1的任何次幂等于1。
-1的奇数次幂等于-1,-1的偶数次幂等于1。
10.4 特殊值:
十、 有理数的乘方
把一个大于 10 的数表示成 a × 10n 的形式 (其中 1 ≤ |a| < 10,n 为正整数),这种计数方法叫做科学计数法。
11.1 定义:
n 等于原数的整数位数减 1。
11.2 确定 n:
十一、 科学计数法
与实际数值很接近,但略有差异的数。
12.1 近似数:
近似数与准确数之间的接近程度。
12.2 精确度:
从左边第一个不是0的数字起,到精确到的位数止,所有的数字都叫做这个近似数的有效数字。
12.3 有效数字:
十二、 近似数与有效数字
先乘方,再乘除,最后加减;
同级运算,从左到右进行;
如有括号,先算括号里面的,按小括号、中括号、大括号依次进行。
13.1 运算顺序:
灵活运用运算律,简化运算。
注意符号问题。
运算过程中,注意检查,避免出错。
13.2 注意:
十三、 有理数的混合运算
《有理数的思维导图初一》
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