《八年级上册数学第十三章思维导图》
I. 全等三角形
A. 定义与性质
- 定义： 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
- 对应顶点： 全等三角形中重合的顶点。
- 对应边： 全等三角形中重合的边。
- 对应角： 全等三角形中重合的角。
- 性质（重要！）： 全等三角形的对应边相等，对应角相等。
- 符号表示： △ABC ≌ △DEF (注意对应顶点位置，表示顺序很重要！)
- 书写规范： 顶点要一一对应，边角按顺序书写。
B. 全等三角形的判定方法 (重点)
- SSS (边边边)： 三边对应相等的两个三角形全等。
- 前提：已知三边长。
- 表述：在△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，CA=FD，∴△ABC≌△DEF(SSS)。
- SAS (边角边)： 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。
- 前提：已知两边及其夹角。
- 注意：夹角是这两条边的夹角，不能是其他角。
- 表述：在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，∴△ABC≌△DEF(SAS)。
- ASA (角边角)： 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。
- 前提：已知两角及其夹边。
- 注意：夹边是这两个角的公共边，不能是其他边。
- 表述：在△ABC和△DEF中，∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F，∴△ABC≌△DEF(ASA)。
- AAS (角角边)： 两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等。
- 前提：已知两角及其一角的对边。
- 表述：在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，∴△ABC≌△DEF(AAS)。
- HL (斜边、直角边)： 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。(仅适用于直角三角形)
- 前提：必须是直角三角形。
- 表述：在Rt△ABC和Rt△DEF中，AB=DE，AC=DF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)。
C. 全等三角形的证明思路
- 找条件： 仔细审题，挖掘隐含条件，如公共边、公共角、对顶角相等等。
- 凑条件： 根据判定方法，凑齐三个对应相等的条件。
- 写证明： 按照规范格式，清晰地写出证明过程。
- 先写出在哪两个三角形中证明。
- 再按照顺序罗列三个条件。
- 最后得出全等结论，并注明判定方法。
D. 全等三角形的应用
- 证明线段相等： 通过证明线段所在的两个三角形全等，利用全等三角形对应边相等得到。
- 证明角相等： 通过证明角所在的两个三角形全等，利用全等三角形对应角相等得到。
- 证明线段间的关系： 结合其他几何知识，如平行、垂直、角平分线等，证明线段间的数量关系，如线段相等、倍数关系、和差关系等。
- 证明位置关系： 证明线段平行、垂直等。
- 构造全等三角形： 在复杂图形中，通过作辅助线构造全等三角形，将分散的条件集中起来，从而解决问题。
- 常见的辅助线作法：倍长中线、截长补短、作平行线等。
E. 注意事项
- 对应关系： 注意全等三角形的对应顶点、对应边、对应角。
- 条件完整性： 必须凑齐三个条件才能判定全等。
- 逻辑性： 证明过程要逻辑严谨，步骤清晰。
II. 角平分线的性质
A. 定义
- 从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
B. 角平分线的性质 (重点)
- 性质1： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
- 几何语言：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，则PD=PE。
- 性质2： 到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。（逆定理）
- 几何语言：如图，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE，则点P在∠AOB的平分线上，即OC平分∠AOB。
C. 角平分线的判定
- 利用角平分线性质的逆定理进行判定。
D. 角平分线的应用
- 求线段长： 利用角平分线性质，将线段长度与点到边的距离联系起来。
- 证明线段相等： 利用角平分线性质，证明点到边的距离相等，从而证明线段相等。
- 确定位置关系： 利用角平分线性质，确定点是否在角的平分线上。
- 作辅助线： 在解决问题时，常常需要根据角平分线的性质作辅助线，如过角平分线上的点作两边的垂线。
E. 与全等三角形结合
- 角平分线常常与全等三角形结合，利用角平分线的性质或全等三角形的性质来解决问题。
III. 轴对称
A. 轴对称图形
- 定义： 如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
- 常见的轴对称图形： 线段、角、等腰三角形、等边三角形、矩形、正方形、圆、正多边形等。
B. 轴对称
- 定义： 如果两个图形关于某一条直线对称，那么这两个图形叫做关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴。
- 性质：
- 对应点所连的线段被对称轴垂直平分。
- 对应线段相等，对应角相等。
- 关于某条直线对称的两个图形是全等形。
C. 线段的垂直平分线
- 定义： 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。
- 性质：
- 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
- 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。（逆定理）
D. 等腰三角形
- 定义： 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
- 相等的两条边叫做腰。
- 另一条边叫做底边。
- 两腰的夹角叫做顶角。
- 底边与腰的夹角叫做底角。
- 性质：
- 等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角）
- 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一）
- 判定：
- 有两个角相等的三角形是等腰三角形。（等角对等边）
E. 等边三角形
- 定义： 三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
- 性质：
- 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°。
- 等边三角形的三线合一。
- 判定：
- 三个角都相等的三角形是等边三角形。
- 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
F. 轴对称的应用
- 利用轴对称的性质，解决最短路径问题。
- 利用轴对称的性质，进行图形的变换和设计。
IV. 知识点联系
- 全等三角形与角平分线： 经常利用全等三角形证明角相等，再利用角平分线的性质解决问题。
- 全等三角形与轴对称： 轴对称的图形是全等形，可以利用全等三角形的判定方法来证明轴对称。
- 角平分线与垂直平分线： 两者都是重要的几何性质，经常结合使用，解决几何问题。
- 等腰三角形、等边三角形与全等三角形： 利用全等三角形证明等腰三角形的性质，利用等腰三角形的性质进行全等三角形的判定。
这章的重点是全等三角形的判定和性质，务必熟练掌握各种判定方法，并能够灵活运用，解决实际问题。注意审题，分析题意，找到合适的判定方法。 同时，对于角平分线的性质和轴对称的性质也要熟练掌握，并灵活运用，解决相关问题。 最后，要注意知识点之间的联系，将各个知识点融会贯通，才能更好地解决几何问题。