《数学第六单元 除数是两位数的除法 思维导图》

一、 单元概述

• 单元名称： 除数是两位数的除法
• 核心目标：
  • 掌握除数是两位数的除法口算和笔算方法。
  • 理解除数是接近整十数的除法的试商方法。
  • 能正确进行除数是两位数的除法计算。
  • 能运用所学知识解决相关的实际问题。
  • 培养估算意识和应用能力。

二、 知识点分解

1. 口算除法

• 概念： 被除数和除数都是整十、整百数的除法。
• 方法：
  • 转化为表内除法：例如， 80 ÷ 20 可以看作 8 ÷ 2。
  • 利用乘法逆运算：想 ( ) × 20 = 80，括号里填几。
• 注意： 被除数和除数末尾的零的个数可能不同，需要灵活处理。
• 例子：
  • 60 ÷ 30 = 2
  • 120 ÷ 40 = 3
  • 180 ÷ 60 = 3
• 拓展： 估算，例如 83 ÷ 20 ≈ 80 ÷ 20 = 4

2. 笔算除法（除数是整十数）

• 基本步骤：
  1. 确定商的位置： 看被除数的前两位够不够除数除，如果够，商就写在十位上；不够，就看前三位，商就写在个位上。
  2. 试商： 用口算的方法估算商，尽可能接近但不超过被除数。
  3. 计算： 将商与除数相乘，将积写在被除数下面。
  4. 相减： 用被除数减去乘积，得到余数。
  5. 检查： 余数必须小于除数。如果余数大于或等于除数，说明商小了，需要调整商。
  6. 继续除： 将被除数下一位落下来，与余数组成新的被除数，重复以上步骤。
• 竖式格式： 清晰规范的书写是保证计算准确的基础。
• 例子： 140 ÷ 20 = 7
• 易错点： 余数忘记写，商的位置错误。

3. 笔算除法（除数接近整十数）

• 试商方法：
  • 四舍五入法： 将除数看作与它接近的整十数进行试商。
    • 除数个位是 1、2、3、4 时，通常用“四舍”法试商，把除数看小。
    • 除数个位是 5、6、7、8、9 时，通常用“五入”法试商，把除数看大。
• 调整商：
  • 商大了： 初商大了，需要调小，因为积会大于被除数。
  • 商小了： 初商小了，需要调大，因为余数会大于或等于除数。
• 例子： 140 ÷ 28 (将28看作30试商，初商可能偏小，需要调整)
• 难点： 灵活调整商，需要多次尝试和练习。
• 技巧： 估算的时候，可以多写几个可能的商，方便调整。

4. 笔算除法（商是一位数）

• 适用范围： 被除数前两位小于除数。
• 关键步骤：
  1. 看前三位： 因为前两位不够除，所以要看前三位。
  2. 确定商的位置： 商要写在个位上。
  3. 试商、计算、检查： 步骤与之前相同。
• 例子： 175 ÷ 25 = 7
• 强调： 竖式书写要规范，数位对齐。

5. 笔算除法（商是两位数）

• 核心： 分两次进行除法运算。
• 步骤：
  1. 先除前两位： 如果被除数的前两位够除，就先除前两位，商写在十位上。
  2. 余数与下一位合并： 将余数与被除数的下一位合并，作为新的被除数。
  3. 继续除： 用除数除以新的被除数，商写在个位上。
• 例子： 288 ÷ 24 = 12
• 注意： 每一步的余数都要小于除数。

6. 试商技巧总结

• 同头无除商八九： 当被除数和除数的最高位相同，且被除数的前两位不够除时，商可能为8或9。
• 除数折半商五六： 当除数接近被除数的一半时，商可能为5或6。
• 灵活运用估算： 将除数看作接近的整十数，快速估算商的大概范围。
• 反复练习： 通过大量的练习，积累经验，提高试商的准确率。

7. 商不变的规律

• 内容： 被除数和除数同时乘或除以相同的数（零除外），商不变。
• 公式： a ÷ b = (a × n) ÷ (b × n) = (a ÷ n) ÷ (b ÷ n) (n ≠ 0)
• 应用： 简化计算，例如 800 ÷ 25 可以转化为 800 × 4 ÷ (25 × 4) = 3200 ÷ 100 = 32。
• 理解： 商不变实际上是等比例放大的思想。
• 注意： 只能是乘或除以相同的数，加减不行。零不能做除数。

8. 解决问题

• 类型：
  • 包含除： 求一个数里面包含多少个另一个数。例如，有120本书，每班分30本，可以分给几个班？
  • 等分除： 将一个数平均分成若干份，求每份是多少。例如，有120本书，平均分给4个班，每个班分多少本？
  • 总价、单价、数量关系： 总价 = 单价 × 数量，数量 = 总价 ÷ 单价，单价 = 总价 ÷ 数量。
• 步骤：
  1. 审题： 理解题意，找出已知条件和所求问题。
  2. 分析数量关系： 确定用什么方法解决问题。
  3. 列式计算： 正确列出算式，进行计算。
  4. 检验： 检查计算是否正确，答案是否符合题意。
  5. 答题： 写出完整的答案。
• 常用策略：
  • 画图： 帮助理解题意，找到数量关系。
  • 列表： 整理数据，分析数量关系。

三、 易错点总结

• 商的位置错误： 商写错数位。
• 余数大于或等于除数： 说明商小了，需要调大。
• 忘记落数： 计算过程中，忘记把被除数下一位落下来。
• 试商不准确： 导致需要频繁调整商。
• 竖式书写不规范： 导致计算错误。
• 对商不变的规律理解不透彻： 导致应用错误。
• 解决问题分析错误： 导致列式错误。

四、 学习方法建议

• 预习： 提前预习教材，了解学习内容。
• 认真听讲： 课堂上认真听讲，积极思考。
• 及时复习： 课后及时复习，巩固所学知识。
• 多做练习： 通过大量的练习，熟练掌握计算方法。
• 错题整理： 建立错题本，及时纠正错误。
• 小组合作： 与同学合作学习，互相帮助，共同进步。
• 寻求帮助： 遇到问题及时向老师或同学请教。

五、 单元联系

• 与之前的知识： 表内除法、多位数乘一位数、估算。
• 与之后的知识： 小数除法、混合运算、解决更复杂的实际问题。

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