《数学七年级上有理数思维导图》

中心主题：有理数

一级分支：概念

• 主题：有理数的定义
  • 定义：整数和分数的统称。
  • 整数：正整数、0、负整数。
  • 分数：正分数、负分数。
  • 有限小数和无限循环小数都是有理数。
  • 无限不循环小数不是有理数。
  • 易错点：0既不是正数也不是负数，但它是整数，是有理数。
• 主题：数轴
  • 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线。
  • 要素：原点、正方向、单位长度（缺一不可）。
  • 作用：
    • 直观表示数的大小。
    • 可以将有理数与数轴上的点一一对应。
    • 便于理解相反数和绝对值的概念。
  • 画法：
    • 画一条直线，标上箭头表示正方向。
    • 选取适当位置作为原点，标上数字0。
    • 确定单位长度，在数轴上表示出需要的数。
• 主题：相反数
  • 定义：只有符号不同的两个数互为相反数。
  • 代数意义：a的相反数是-a。
  • 几何意义：在数轴上，位于原点两侧，且与原点距离相等的两个点表示的数互为相反数。
  • 性质：
    • a和-a的和为0，即a + (-a) = 0。
    • 0的相反数是0。
    • 相反数的绝对值相等，即 |a| = |-a|。
• 主题：绝对值
  • 定义：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
  • 几何意义：表示该数与原点的距离。
  • 代数意义：
    • 当a是正数时，|a| = a。
    • 当a是负数时，|a| = -a。
    • 当a是0时，|a| = 0。
  • 性质：
    • 绝对值永远是非负数，即|a| ≥ 0。
    • |a| = |-a|。
    • 若|a| = |b|，则a = b 或 a = -b。
• 主题：数的大小比较
  • 数轴比较法：在数轴上，右边的数总比左边的数大。
  • 正数、0、负数比较：正数 > 0 > 负数，两个负数，绝对值大的反而小。
  • 绝对值比较法：对于两个负数，先求其绝对值，绝对值大的反而小。

一级分支：运算

• 主题：有理数的加法
  • 法则：
    • 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
    • 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。
    • 一个数同0相加，仍得这个数。
  • 运算律：
    • 加法交换律：a + b = b + a。
    • 加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c)。
• 主题：有理数的减法
  • 法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a - b = a + (-b)。
  • 注意：减法转化为加法后，按照加法法则进行计算。
• 主题：有理数的乘法
  • 法则：
    • 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
    • 任何数同0相乘，都得0。
  • 运算律：
    • 乘法交换律：a × b = b × a。
    • 乘法结合律：(a × b) × c = a × (b × c)。
    • 乘法分配律：a × (b + c) = a × b + a × c。
• 主题：有理数的除法
  • 法则：
    • 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数，即a ÷ b = a × (1/b) (b≠0)。
    • 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。
  • 注意：除法转化为乘法后，按照乘法法则进行计算。
• 主题：有理数的乘方
  • 定义：求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
  • 记法：aⁿ，其中a叫做底数，n叫做指数。
  • 读法：a的n次方，或a的n次幂。
  • 性质：
    • 正数的任何次幂都是正数。
    • 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
    • 0的任何正整数次幂都是0。
• 主题：科学记数法
  • 定义：把一个大于10的数表示成a × 10ⁿ的形式，其中1 ≤ |a| < 10，n为正整数。
  • n的确定：n等于原数的整数位数减1。
• 主题：近似数与有效数字
  • 近似数：与实际数很接近的数。
  • 精确度：指近似数与准确数的接近程度。可以用精确到哪一位来表示。
  • 有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。
• 主题：有理数的混合运算
  • 运算顺序：
    • 先算乘方，再算乘除，最后算加减。
    • 同级运算，从左到右依次进行。
    • 有括号的，先算括号里面的，按小括号、中括号、大括号的顺序进行计算。
  • 注意：
    • 注意运算符号的确定。
    • 灵活运用运算律简化计算。

一级分支：应用

• 主题：实际问题中的应用
  • 温度变化问题。
  • 水位变化问题。
  • 收入支出问题。
  • 行程问题。
  • 方向变化问题。
• 主题：数形结合思想
  • 利用数轴解决实际问题。
  • 利用绝对值的几何意义解决问题。

注意点:

• 熟练掌握有理数的各种概念和运算法则。
• 注意符号的确定，特别是负号。
• 灵活运用运算律简化计算。
• 培养数形结合的思想，提高解决问题的能力。
• 加强练习，巩固所学知识。