《六年级上册数学比的思维导图》

一、比的定义与意义

1.1 比的定义

• 两个数相除又叫做两个数的比。
• 比的符号：:（比号）。
• 比号前面的数叫做比的前项。
• 比号后面的数叫做比的后项。
• 前项除以后项所得的商，叫做比值。

1.2 比的意义

• 表示两个数之间的倍数关系。
• 表示两个同类量的比例关系。
• 体现的是两个量之间的相对关系，而非绝对数量。

1.3 比与除法、分数的关系

• 联系： 比、除法、分数本质相同，都是一种运算关系。
  • 比的前项相当于被除数，相当于分子。
  • 比的后项相当于除数，相当于分母。
  • 比值相当于商，相当于分数值。
• 区别：
  • 比是一种关系，可以表示两个数之间的关系，也可以表示两个量的关系。
  • 除法是一种运算，表示已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
  • 分数是一种数，表示把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数。

二、比的基本性质

2.1 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。

• a : b = (a × c) : (b × c) (c ≠ 0)
  • a : b = (a ÷ c) : (b ÷ c) (c ≠ 0)

    2.2 比的基本性质的应用

• 化简比：利用比的基本性质，将比的前项和后项化为最简整数比。
  • 求比值： 利用比的前项除以后项，如果除不尽，用分数表示比值。
  • 解决按比例分配问题。

三、化简比

3.1 化简比的目的

• 使比的前项和后项尽可能简化，便于比较和计算。
• 得到最简整数比，方便后续应用。

3.2 化简比的方法

• 整数比：
  • 如果前项和后项有公约数，则约分到最简。例如：12:18 = (12÷6) : (18÷6) = 2:3
• 分数比：
  • 先将前项和后项同时乘以分母的最小公倍数，化为整数比。
  • 再进行约分，化为最简整数比。 例如：(1/2) : (2/3) = (1/2 × 6) : (2/3 × 6) = 3 : 4
• 小数比：
  • 先将前项和后项同时乘以10、100、1000……，化为整数比。
  • 再进行约分，化为最简整数比。 例如：0.25 : 0.5 = (0.25 × 100) : (0.5 × 100) = 25 : 50 = 1:2
• 复杂比：
  • 先将前项和后项化为整数或分数形式。
  • 再按照分数比或整数比的方法进行化简。

3.3 注意事项

• 化简比的结果必须是最简整数比。
• 化简比和求比值的区别：化简比的结果是一个比，求比值的结果是一个数。

四、求比值

4.1 求比值的定义

• 比的前项除以后项所得的商，叫做比值。
• 比值可以用整数、小数或分数表示。

4.2 求比值的方法

• 用前项除以后项。 例如： 4:5 比值= 4÷5 = 4/5 = 0.8

4.3 注意事项

• 比值是一个数，可以是整数、小数或分数。
• 比值可以大于1，也可以小于1。

五、比的应用——按比例分配

5.1 按比例分配的定义

• 把一个数量按照一定的比进行分配的方法。

5.2 按比例分配的解题步骤

1. 求出总份数： 将比的前项和后项相加，得到总份数。
2. 求出每份数： 用总数量除以总份数，得到每份的数量。
3. 求出各部分数量： 用每份的数量乘以各部分所占的份数，得到各部分的数量。

5.3 例题

• 一个长方形的周长是28厘米，长和宽的比是5:2，长和宽各是多少厘米？

  1. 总份数：5 + 2 = 7
  2. 半周长：28 ÷ 2 = 14 厘米
  3. 每份的长度：14 ÷ 7 = 2 厘米
  4. 长：2 × 5 = 10 厘米
  5. 宽：2 × 2 = 4 厘米

六、拓展延伸

6.1 比例尺

• 图上距离和实际距离的比，叫做比例尺。
• 比例尺 = 图上距离 : 实际距离

6.2 正比例和反比例

• 正比例： 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
• 反比例： 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。

6.3 比的应用题的多种解法

• 方程解法
• 分数解法
• 按比例分配解法

七、易错点总结

• 混淆比和比值： 比表示关系，比值是一个数。
• 化简比不彻底： 没有化简到最简整数比。
• 按比例分配中单位不统一： 计算前要统一单位。
• 忽略“0除外”： 比的基本性质中，同时乘除的数不能为0。
• 对于复杂比的化简，步骤混乱： 应该先化简为简单的整数比或者分数比。

八、思维导图总结

比是小学数学的重要概念，理解比的意义、掌握比的基本性质、能够正确地化简比和求比值是学好本章的关键。同时，要学会运用比的知识解决实际问题，如按比例分配问题。通过思维导图的梳理，可以帮助学生更好地掌握比的知识体系，提高解题能力。

上一个主题： 西游记思维导图 下一个主题： 鲁迅故乡思维导图