数的整除思维导图六年级上

《数的整除思维导图六年级上》

中心主题：数的整除

一级分支：基本概念

• 整除定义：

  • 如果整数a除以整数b(b≠0)所得的商为整数且没有余数，我们就说a能被b整除，或b能整除a。
  • 关键词：整数、没有余数、除尽。
  • a是b的倍数，b是a的因数 (或约数)。
  • 例如：12 ÷ 3 = 4， 12能被3整除，3能整除12。 12是3的倍数，3是12的因数。

• 倍数与因数：

  • 倍数：一个数能够被另一数整除，这个数就是另一数的倍数。
  • 因数：一个数能够整除另一个数，这个数就是另一个数的因数。
  • 关系：倍数和因数是相互依存的，不能单独存在。
  • 举例：12的因数有1, 2, 3, 4, 6, 12；12的倍数有12, 24, 36, 48,...
  • 一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。
  • 一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

• 整除的性质：

  • 传递性：如果a能被b整除，b能被c整除，那么a就能被c整除。
    • 数学表达式：a | b, b | c => a | c
    • 例子：12能被6整除，6能被3整除，那么12就能被3整除。
  • 如果a能被c整除，b也能被c整除，那么a+b也能被c整除，a-b也能被c整除。
    • 数学表达式：c | a, c | b => c | (a+b), c | (a-b) (a>b)
    • 例子：15能被3整除，6能被3整除，那么15+6=21也能被3整除，15-6=9也能被3整除。
  • 如果a能被c整除，那么ka也能被c整除（k为整数）。
    • 数学表达式：c | a => c | (ka)
    • 例子：12能被4整除，那么3*12=36也能被4整除。

一级分支：特殊数的整除特征

• 2的倍数：

  • 个位是0, 2, 4, 6, 8的数。
  • 也称为偶数。

• 5的倍数：

  • 个位是0或5的数。

• 3的倍数：

  • 各位数字之和是3的倍数。
  • 例子：123 (1+2+3=6, 6是3的倍数，所以123是3的倍数)

• 9的倍数：

  • 各位数字之和是9的倍数。
  • 例子：819 (8+1+9=18, 18是9的倍数，所以819是9的倍数)

• 4和25的倍数：

  • 看末两位是否是4或25的倍数，或者末两位是00。
  • 例子：1324 (24是4的倍数，所以1324是4的倍数); 1575 (75是25的倍数，所以1575是25的倍数)。

• 8和125的倍数：

  • 看末三位是否是8或125的倍数，或者末三位是000。
  • 例子：2120 (120是8的倍数，所以2120是8的倍数); 3375 (375是125的倍数，所以3375是125的倍数)。

• 11的倍数：

  • 奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差是11的倍数（包括0）。
  • 例子：2574 (2+7 = 9, 5+4 = 9, 9-9 = 0, 所以2574是11的倍数)

一级分支：质数与合数

• 质数（素数）：

  • 只有1和它本身两个因数的数。
  • 最小的质数是2，2是唯一的偶数质数。
  • 例子：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...

• 合数：

  • 除了1和它本身以外，还有其他因数的数。
  • 最小的合数是4。
  • 例子：4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ...

• 1的特殊性：

  • 1既不是质数也不是合数。

• 分解质因数：

  • 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
  • 方法：短除法、树状图法。
  • 例子：12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3

一级分支：公因数与公倍数

• 公因数：

  • 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。
  • 最大公因数（Greatest Common Divisor, GCD）：几个数公有的因数中，最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。

• 公倍数：

  • 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。
  • 最小公倍数（Least Common Multiple, LCM）：几个数公有的倍数中，最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

• 求最大公因数与最小公倍数：

  • 短除法：同时除以公有的质因数，直到没有公有质因数为止。
    • 最大公因数：所有除数的乘积。
    • 最小公倍数：所有除数和最后所得商的乘积。
  • 分解质因数法：
    • 最大公因数：所有公共质因数的最低次幂的乘积。
    • 最小公倍数：所有质因数最高次幂的乘积。
  • 特殊情况：互质数：最大公因数为1，最小公倍数为两数的乘积。 一个数是另一个数的倍数：最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。

• 最大公因数与最小公倍数的应用：

  • 约分：用最大公因数约分。
  • 通分：用最小公倍数通分。
  • 解决实际问题：例如，将两种不同长度的木条截成相同长度的小段，求小段的最大长度 (求最大公因数)。将两种不同频率的灯同时亮起，求下次同时亮起的时间 (求最小公倍数)。

一级分支：互质数

• 定义：
  • 公因数只有1的两个数，叫做互质数。
• 判断方法：
  • 两个数都是质数，且不相等，那么它们互质。
  • 1和任何自然数互质。
  • 相邻的两个自然数互质。
  • 两个数都是合数，如果它们没有公共的质因数，那么它们互质。
• 例子：
  • 3和5是互质数。
  • 8和9是互质数。
  • 1和任何数互质。

一级分支：奇数与偶数

• 定义：
  • 能被2整除的数叫偶数，不能被2整除的数叫奇数。
  • 0是偶数。
• 性质：
  • 奇数±奇数=偶数
  • 偶数±偶数=偶数
  • 奇数±偶数=奇数
  • 奇数×奇数=奇数
  • 偶数×偶数=偶数
  • 奇数×偶数=偶数

总结：数的整除是六年级数学的重要组成部分，理解基本概念、掌握特殊数的整除特征、理解质数合数、掌握公因数公倍数的求法，并能灵活应用于实际问题，是学好这部分的关键。