《七上到八上数学思维导图》
一、数与式
1.1 有理数
- 概念:
- 整数 (正整数、负整数、0)
- 分数 (正分数、负分数)
- 数轴 (三要素：原点、正方向、单位长度)
- 相反数 (只有符号不同的两个数，a的相反数是-a)
- 绝对值 (|a|，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0)
- 倒数 (乘积为1的两个数互为倒数，a的倒数为1/a (a≠0))
- 运算:
- 加法 (同号相加，取相同符号，绝对值相加；异号相加，取绝对值较大的数的符号，绝对值相减)
- 减法 (减去一个数等于加上这个数的相反数)
- 乘法 (同号得正，异号得负，绝对值相乘)
- 除法 (除以一个数等于乘以这个数的倒数，除数不能为0)
- 乘方 (求n个相同因数的积的运算，a^n)
- 混合运算 (先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号里面的)
- 科学计数法: a × 10^n (1 ≤ |a| < 10, n为整数)
1.2 整式
- 概念:
- 单项式 (数字与字母的积的式子，单独一个数或字母也是单项式)
- 多项式 (几个单项式的和)
- 同类项 (所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项)
- 合并同类项 (系数相加，字母和字母的指数不变)
- 整式 (单项式和多项式的统称)
- 运算:
- 加减 (合并同类项)
- 乘法 (单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式)
- 平方差公式: (a+b)(a-b) = a^2 - b^2
- 完全平方公式: (a±b)^2 = a^2 ± 2ab + b^2
1.3 分式
- 概念:
- 分式 (A/B，其中A、B是整式，且B中含有字母)
- 分式有意义的条件 (分母不等于0)
- 分式的值为0的条件 (分子等于0，且分母不等于0)
- 最简分式 (分子与分母没有公因式的分式)
- 运算:
- 加减 (同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减，先通分，再相加减)
- 乘法 (分子乘以分子，分母乘以分母)
- 除法 (除以一个分式等于乘以这个分式的倒数)
- 约分 (把分式的分子和分母的公因式约去)
- 通分 (把几个异分母的分式化成同分母的分式)
二、方程与不等式
2.1 一元一次方程
- 概念:
- 方程 (含有未知数的等式)
- 一元一次方程 (只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的方程)
- 方程的解 (使方程左右两边相等的未知数的值)
- 解方程 (求方程的解的过程)
- 解法:
- 去分母
- 去括号
- 移项
- 合并同类项
- 系数化为1
- 应用:
- 行程问题 (相遇问题、追及问题)
- 工程问题
- 销售问题
- 利息问题
- 数字问题
2.2 二元一次方程组
- 概念:
- 二元一次方程 (含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程)
- 二元一次方程组 (由两个含有相同未知数的二元一次方程组成)
- 方程组的解 (使方程组中每个方程都成立的两个未知数的值)
- 解法:
- 代入消元法
- 加减消元法
- 应用:
- 同上一元一次方程应用题类型，但设两个未知数
2.3 一元一次不等式
- 概念:
- 不等式 (用不等号连接起来的式子)
- 一元一次不等式 (只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式)
- 不等式的解 (使不等式成立的未知数的值)
- 不等式的解集 (不等式所有解的集合)
- 解法:
- 移项
- 系数化为1 (注意：当不等式两边都乘以或除以一个负数时，不等号要改变方向)
- 不等式组:
- 解法 (分别解出每个不等式，然后找出公共部分)
- 解集 (不等式组的解集是各不等式解集的交集)
- 应用:
- 与一元一次方程类似的应用题，只是将等量关系改为不等关系
三、图形与几何
3.1 平面图形及其位置关系
- 点、线、面、体:
- 点动成线，线动成面，面动成体
- 线段、射线、直线:
- 线段 (两个端点)
- 射线 (一个端点)
- 直线 (没有端点)
- 角的度量与表示:
- 角的单位 (度、分、秒，1°=60'，1'=60")
- 角的表示 (∠AOB、∠1、∠α)
- 角的分类 (锐角、直角、钝角、平角、周角)
- 平行与相交:
- 平行线 (在同一平面内，不相交的两条直线)
- 垂线 (两条直线相交成直角，互相垂直)
- 同位角、内错角、同旁内角
- 平行线的判定与性质
3.2 三角形
- 概念:
- 三角形 (由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形)
- 三角形的分类 (按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；按边分：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形)
- 三角形的重要线段 (高线、中线、角平分线)
- 性质:
- 三角形的内角和为180°
- 三角形的任意两边之和大于第三边
- 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和
- 全等三角形:
- 全等三角形的判定 (SSS、SAS、ASA、AAS、HL)
- 全等三角形的性质 (对应边相等，对应角相等)
3.3 四边形
- 概念:
- 四边形 (由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接所组成的图形)
- 平行四边形 (两组对边分别平行的四边形)
- 矩形 (有一个角是直角的平行四边形)
- 菱形 (四条边都相等的平行四边形)
- 正方形 (四条边都相等且四个角都是直角的四边形)
- 梯形 (只有一组对边平行的四边形)
- 性质:
- 平行四边形的性质 (对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分)
- 矩形的性质 (对边平行且相等，四个角都是直角，对角线相等且互相平分)
- 菱形的性质 (四条边都相等，对角相等，对角线互相垂直平分且平分一组对角)
- 正方形的性质 (具备矩形和菱形的所有性质)
- 判定： 通过对边、对角、对角线等关系的判断。
3.4 图形的变换
- 平移: 图形沿某个方向移动，大小形状不变
- 轴对称: 图形关于某条直线对称，大小形状不变
- 旋转: 图形绕某个点旋转，大小形状不变
四、数据分析与概率
4.1 数据的收集、整理与描述
- 数据的收集: 普查、抽样调查
- 数据的整理: 频数分布表、条形图、扇形图、折线图
- 数据的描述:
- 平均数
- 中位数
- 众数
4.2 概率
- 概率的概念: 随机事件发生的可能性的大小
- 概率的计算:
- P(A) = 事件A发生的可能结果数 / 所有可能结果总数 (等可能事件)
- 通过实验估计概率
五、实数 (八上新增)
- 平方根、算术平方根、立方根: 定义及计算
- 实数: 有理数和无理数的统称。无理数指无限不循环小数。
- 实数与数轴的关系: 一一对应关系。
- 实数的运算: 运算性质和运算顺序与有理数相同。
六、勾股定理 (八上新增)
- 勾股定理: 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 a^2 + b^2 = c^2
- 勾股定理的逆定理: 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
- 应用: 解决实际问题，如求边长、判断直角三角形等。
七、一次函数 (八上新增)
- 函数: 变量之间的关系。
- 一次函数: y = kx + b (k ≠ 0)
- 正比例函数: y = kx (k ≠ 0)
- 图像: 直线
- 性质: k>0, y随x增大而增大; k<0, y随x增大而减小。
- 与坐标轴的交点: 与y轴交点(0, b), 与x轴交点(-b/k, 0)。
- 应用: 解决实际问题，如行程问题、增长问题等。
这份思维导图涵盖了七年级上册到八年级上册的主要数学知识点，可以帮助学生更好地梳理知识结构，构建完整的知识体系，提高学习效率。