数学二次函数的思维导图

I. 定义与基本形式

• 定义： 形如 f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) 的函数。
• 一般式： f(x) = ax² + bx + c
  • a：决定开口方向和开口大小。
  • b：与a共同决定对称轴位置。
  • c：决定与 y 轴的交点坐标 (0, c)。
• 顶点式： f(x) = a(x - h)² + k
  • (h, k)：顶点坐标。
  • h = -b / 2a
  • k = (4ac - b²) / 4a
• 交点式： f(x) = a(x - x₁)(x - x₂)
  • x₁, x₂：与 x 轴的交点（根）。
  • 存在条件：Δ ≥ 0，即 b² - 4ac ≥ 0
• 三种形式之间的转换：
  • 一般式 -> 顶点式：配方法
  • 顶点式 -> 一般式：展开
  • 一般式 -> 交点式：解方程 ax² + bx + c = 0 (求根)

II. 图象与性质

• 抛物线： 二次函数的图象。
  • 开口方向：
    • a > 0：开口向上，有最小值。
    • a < 0：开口向下，有最大值。
  • 对称轴： x = -b / 2a，或 x = h
  • 顶点： (-b / 2a, (4ac - b²) / 4a)，或 (h, k)
  • 与 y 轴的交点： (0, c)
  • 与 x 轴的交点： 解方程 ax² + bx + c = 0
    • Δ > 0：两个不同的交点。
    • Δ = 0：一个交点（与 x 轴相切）。
    • Δ < 0：没有交点。
  • 平移变换：
    • 左加右减，上加下减 (针对顶点式)。
    • f(x) -> f(x - h) + k，表示向右平移 h 个单位，向上平移 k 个单位。
• 单调性：
  • a > 0：在对称轴左侧单调递减，在对称轴右侧单调递增。
  • a < 0：在对称轴左侧单调递增，在对称轴右侧单调递减。
• 最值：
  • a > 0：有最小值，当 x = -b / 2a 时，f(x) = (4ac - b²) / 4a
  • a < 0：有最大值，当 x = -b / 2a 时，f(x) = (4ac - b²) / 4a
  • 区间最值： 需考虑对称轴与区间的关系，比较端点值和顶点值的大小。
• 奇偶性：
  • 一般情况下，二次函数不是奇函数或偶函数。
  • 当 b = 0 时，二次函数是偶函数，对称轴是 y 轴。

III. 应用

• 解决实际问题：
  • 利润最大化：成本、售价、销售量之间的关系。
  • 面积最大化：利用周长或边长关系建立二次函数模型。
  • 抛物线运动轨迹：例如，投掷物体、喷泉等。
• 不等式：
  • 解二次不等式：
    • 转化为解方程 ax² + bx + c = 0，求根。
    • 根据 a 的符号和根的情况，画出草图，确定不等式的解集。
  • 恒成立问题：
    • f(x) > 0 恒成立：a > 0 且 Δ < 0
    • f(x) < 0 恒成立：a < 0 且 Δ < 0
    • 在指定区间内恒成立：考虑端点值和顶点值，转化为最值问题。
• 方程的根：
  • 判别式 Δ = b² - 4ac：判断根的个数和性质。
  • 韦达定理：
    • x₁ + x₂ = -b / a
    • x₁x₂ = c / a
  • 根的分布：
    • 两根都在某区间内；两根分别在两个区间内；有且仅有一根在某区间内。
    • 利用根的性质、判别式、区间端点值等进行分析。
• 与其他函数的结合：
  • 复合函数：f(g(x))，分析内外层函数的性质。
  • 分段函数：根据不同区间内的函数表达式进行分析。

IV. 重点难点

• 配方法： 将一般式转化为顶点式。
• 判别式： 判断根的情况。
• 顶点坐标的灵活运用： 求最值，确定对称轴。
• 根的分布问题： 综合运用根的性质、判别式、区间端点值。
• 数形结合思想： 利用抛物线的图象解决问题。
• 分类讨论思想： 针对不同情况进行分析。
• 不等式恒成立问题： 转化为最值问题或判别式问题。

V. 解题技巧

• 抓住关键点： 顶点、对称轴、与坐标轴的交点。
• 灵活选择函数形式： 根据题目条件选择合适的函数形式。
• 画图： 辅助理解题目，分析问题。
• 转化思想： 将复杂问题转化为简单问题。
• 注意隐含条件： 例如，二次项系数不为零。
• 验证答案： 确保答案的正确性。

VI. 易错点

• 忽略二次项系数不为零的条件。
• 对顶点坐标、对称轴公式记忆不准确。
• 配方法时符号错误。
• 判别式使用错误。
• 忽略区间端点值。
• 数形结合时图象不准确。
• 忽略讨论二次项系数的正负。

VII. 常用方法

• 配方法
• 判别式法
• 韦达定理法
• 数形结合法
• 分类讨论法
• 换元法