八年级数学思维导图

# 《八年级数学思维导图》

## 一、数与式

### 1.1 实数

*   **概念:**
    *   有理数: 整数(正整数, 0, 负整数), 分数(正分数, 负分数)
    *   无理数: 无限不循环小数, 常见类型(根号型, π型)
    *   实数: 有理数 + 无理数
*   **分类:**
    *   按定义分: 正实数, 0, 负实数
    *   按性质分: 正实数, 负实数
*   **性质:**
    *   相反数: a 和 -a
    *   绝对值: |a| (a>=0, |a|=a; a<0, |a|=-a)
    *   倒数: a (a≠0) 的倒数为 1/a
*   **运算:**
    *   加法, 减法, 乘法, 除法, 乘方, 开方
    *   运算律: 交换律, 结合律, 分配律
*   **平方根、算术平方根、立方根:**
    *   平方根：如果 x² = a, 那么 x 叫做 a 的平方根。
    *   算术平方根：正数的正的平方根叫做算术平方根。
    *   立方根：如果 x³ = a, 那么 x 叫做 a 的立方根。
*   **非负性：**
    *   |a| ≥ 0, a² ≥ 0, √a ≥ 0 (a ≥ 0)

### 1.2 代数式

*   **概念:**
    *   单项式: 数字与字母的积 (单独一个数或一个字母也是单项式)
    *   多项式: 几个单项式的和
    *   整式: 单项式和多项式统称整式
    *   分式: A/B (B中含有字母，且B≠0)
    *   代数式: 用运算符号连接数字、字母得到的式子
*   **运算:**
    *   整式加减: 合并同类项
    *   整式乘除:
        *   同底数幂的乘法：aᵐ * aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
        *   幂的乘方：(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
        *   积的乘方：(ab)ⁿ = aⁿbⁿ
        *   同底数幂的除法：aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (a≠0, m>n)
        *   平方差公式：(a+b)(a-b) = a² - b²
        *   完全平方公式：(a+b)² = a² + 2ab + b², (a-b)² = a² - 2ab + b²
*   **因式分解:**
    *   提公因式法
    *   公式法(平方差公式, 完全平方公式)
    *   分组分解法
    *   十字相乘法(简单形式)

### 1.3 分式

*   **概念:**
    *   分式: A/B (B中含有字母，且B≠0)
    *   最简分式: 分子分母没有公因式的分式
*   **性质:**
    *   基本性质: 分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变。
*   **运算:**
    *   分式加减: 先通分，再计算
    *   分式乘除: 乘法:分子乘分子,分母乘分母; 除法: 除以一个分式等于乘以这个分式的倒数
    *   分式方程:
        *   概念：分母中含有未知数的方程
        *   解法：去分母（方程两边同乘最简公分母）→ 解整式方程 → 检验（代入最简公分母，看是否为0，是0则为增根，要舍去）

## 二、方程与不等式

### 2.1 一元一次不等式

*   **概念:**
    *   不等式及其基本性质
    *   一元一次不等式: 只含有一个未知数, 未知数的最高次数是1
    *   解集: 使不等式成立的未知数的值的集合
    *   解不等式：求不等式解集的过程
*   **解法:**
    *   移项, 合并同类项, 系数化为1 (注意: 乘以或除以负数要改变不等号方向)
*   **不等式组:**
    *   解集：各不等式解集的公共部分
    *   口诀: 大大取较大, 小小取较小, 大小小大取中间, 大大小小无解

### 2.2 二元一次方程组

*   **概念:**
    *   二元一次方程: 含有两个未知数, 未知数的最高次数是1
    *   二元一次方程组: 由两个二元一次方程组成的方程组
    *   方程的解: 满足方程的未知数的值
    *   方程组的解: 同时满足方程组中所有方程的解
*   **解法:**
    *   代入消元法
    *   加减消元法
*   **应用:**
    *   行程问题
    *   工程问题
    *   分配问题

### 2.3 一元一次不等式组的应用

*   **解题步骤：**
    *   审题，设未知数，列不等式组，解不等式组，检验并作答。
*   **注意：**
    *   关注题中的关键词语，如“至少”、“至多”、“不大于”、“不小于”等。

## 三、几何图形

### 3.1 三角形

*   **概念:**
    *   边, 角, 顶点, 高, 中线, 角平分线
*   **性质:**
    *   三角形内角和定理: 三角形三个内角和等于180°
    *   三角形三边关系: 两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边
    *   三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
    *   三角形分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
*   **特殊三角形:**
    *   等腰三角形: 两边相等
    *   等边三角形: 三边相等
    *   直角三角形: 含有直角
*   **全等三角形:**
    *   概念: 能够完全重合的两个三角形
    *   判定: SSS, SAS, ASA, AAS, HL (直角三角形)
    *   性质: 对应边相等, 对应角相等
*   **角平分线的性质：** 角平分线上的点到角两边的距离相等。
*   **线段垂直平分线的性质：**线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

### 3.2 四边形

*   **概念:**
    *   边, 角, 顶点, 对角线
*   **多边形内角和：** (n-2) * 180°
*   **特殊四边形:**
    *   平行四边形: 两组对边分别平行
    *   矩形: 有一个角是直角的平行四边形
    *   菱形: 四边相等的平行四边形
    *   正方形: 四边相等, 四个角都是直角的四边形
    *   梯形：只有一组对边平行的四边形。
    *   等腰梯形：两腰相等的梯形。
*   **性质与判定:**
    *   平行四边形性质：对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分。
    *   矩形性质：具有平行四边形的所有性质，四个角都是直角，对角线相等。
    *   菱形性质：具有平行四边形的所有性质，四条边都相等，对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角。
    *   正方形性质：具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质。
    *   判定: 各种特殊四边形的判定方法

### 3.3 图形的轴对称

*   **轴对称图形:** 沿一条直线折叠, 直线两旁的部分能够完全重合的图形
*   **轴对称的性质：**对应点所连的线段被对称轴垂直平分。
*   **常见的轴对称图形:** 线段, 角, 等腰三角形, 等边三角形, 矩形, 菱形, 正方形, 圆
*   **中心对称图形：**在平面内，如果把一个图形绕着某个点旋转180°后能与自身重合，那么就说这个图形是中心对称图形。
*   **常见的中心对称图形:** 线段, 平行四边形, 矩形, 菱形, 正方形, 圆
*   **注意：**等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形。平行四边形是中心对称图形，但一般不是轴对称图形。

## 四、数据分析

### 4.1 数据的收集与整理

*   **调查方式:**
    *   普查
    *   抽样调查
*   **数据整理:**
    *   频数分布表
    *   频率分布表
    *   条形图
    *   扇形图
    *   折线图

### 4.2 数据的描述

*   **平均数:** 所有数据的和除以数据的个数
*   **中位数:** 将数据从小到大排列, 最中间的数据 (数据个数为偶数时, 取中间两个数的平均数)
*   **众数:** 出现次数最多的数据
*   **方差:** 各数据与平均数的差的平方的平均数。
*   **标准差:** 方差的算术平方根。
*   **加权平均数：**将各个数据乘以相应的权，然后加起来，再除以权的总和。

### 4.3 数据的分析

*   **用样本估计总体:** 利用样本的平均数, 方差, 标准差等统计量估计总体的平均数, 方差, 标准差等统计量
*   **判断数据波动性：**方差或标准差越大，数据波动性越大；方差或标准差越小，数据波动性越小。
*   **合理决策：**根据数据分析的结果，进行合理的判断和决策。

《八年级数学思维导图》

一、数与式

1.1 实数

概念:
- 有理数: 整数(正整数, 0, 负整数), 分数(正分数, 负分数)
- 无理数: 无限不循环小数, 常见类型(根号型, π型)
- 实数: 有理数 + 无理数
分类:
- 按定义分: 正实数, 0, 负实数
- 按性质分: 正实数, 负实数
性质:
- 相反数: a 和 -a
- 绝对值: |a| (a>=0, |a|=a; a<0, |a|=-a)
- 倒数: a (a≠0) 的倒数为 1/a
运算:
- 加法, 减法, 乘法, 除法, 乘方, 开方
- 运算律: 交换律, 结合律, 分配律
平方根、算术平方根、立方根:
- 平方根：如果 x² = a, 那么 x 叫做 a 的平方根。
- 算术平方根：正数的正的平方根叫做算术平方根。
- 立方根：如果 x³ = a, 那么 x 叫做 a 的立方根。
非负性：
- |a| ≥ 0, a² ≥ 0, √a ≥ 0 (a ≥ 0)

1.2 代数式

概念:
- 单项式: 数字与字母的积 (单独一个数或一个字母也是单项式)
- 多项式: 几个单项式的和
- 整式: 单项式和多项式统称整式
- 分式: A/B (B中含有字母，且B≠0)
- 代数式: 用运算符号连接数字、字母得到的式子
运算:
- 整式加减: 合并同类项
- 整式乘除:
  - 同底数幂的乘法：aᵐ * aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
  - 幂的乘方：(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
  - 积的乘方：(ab)ⁿ = aⁿbⁿ
  - 同底数幂的除法：aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (a≠0, m>n)
  - 平方差公式：(a+b)(a-b) = a² - b²
  - 完全平方公式：(a+b)² = a² + 2ab + b², (a-b)² = a² - 2ab + b²
因式分解:
- 提公因式法
- 公式法(平方差公式, 完全平方公式)
- 分组分解法
- 十字相乘法(简单形式)

1.3 分式

概念:
- 分式: A/B (B中含有字母，且B≠0)
- 最简分式: 分子分母没有公因式的分式
性质:
- 基本性质: 分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变。
运算:
- 分式加减: 先通分，再计算
- 分式乘除: 乘法:分子乘分子,分母乘分母; 除法: 除以一个分式等于乘以这个分式的倒数
- 分式方程:
  - 概念：分母中含有未知数的方程
  - 解法：去分母（方程两边同乘最简公分母）→ 解整式方程 → 检验（代入最简公分母，看是否为0，是0则为增根，要舍去）

二、方程与不等式

2.1 一元一次不等式

概念:
- 不等式及其基本性质
- 一元一次不等式: 只含有一个未知数, 未知数的最高次数是1
- 解集: 使不等式成立的未知数的值的集合
- 解不等式：求不等式解集的过程
解法:
- 移项, 合并同类项, 系数化为1 (注意: 乘以或除以负数要改变不等号方向)
不等式组:
- 解集：各不等式解集的公共部分
- 口诀: 大大取较大, 小小取较小, 大小小大取中间, 大大小小无解

2.2 二元一次方程组

概念:
- 二元一次方程: 含有两个未知数, 未知数的最高次数是1
- 二元一次方程组: 由两个二元一次方程组成的方程组
- 方程的解: 满足方程的未知数的值
- 方程组的解: 同时满足方程组中所有方程的解
解法:
- 代入消元法
- 加减消元法
应用:
- 行程问题
- 工程问题
- 分配问题

2.3 一元一次不等式组的应用

解题步骤：
- 审题，设未知数，列不等式组，解不等式组，检验并作答。
注意：
- 关注题中的关键词语，如“至少”、“至多”、“不大于”、“不小于”等。

三、几何图形

3.1 三角形

概念:
- 边, 角, 顶点, 高, 中线, 角平分线
性质:
- 三角形内角和定理: 三角形三个内角和等于180°
- 三角形三边关系: 两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边
- 三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
- 三角形分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
特殊三角形:
- 等腰三角形: 两边相等
- 等边三角形: 三边相等
- 直角三角形: 含有直角
全等三角形:
- 概念: 能够完全重合的两个三角形
- 判定: SSS, SAS, ASA, AAS, HL (直角三角形)
- 性质: 对应边相等, 对应角相等
角平分线的性质： 角平分线上的点到角两边的距离相等。
线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

3.2 四边形

概念:
- 边, 角, 顶点, 对角线
多边形内角和： (n-2) * 180°
特殊四边形:
- 平行四边形: 两组对边分别平行
- 矩形: 有一个角是直角的平行四边形
- 菱形: 四边相等的平行四边形
- 正方形: 四边相等, 四个角都是直角的四边形
- 梯形：只有一组对边平行的四边形。
- 等腰梯形：两腰相等的梯形。
性质与判定:
- 平行四边形性质：对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分。
- 矩形性质：具有平行四边形的所有性质，四个角都是直角，对角线相等。
- 菱形性质：具有平行四边形的所有性质，四条边都相等，对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角。
- 正方形性质：具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质。
- 判定: 各种特殊四边形的判定方法

3.3 图形的轴对称

轴对称图形: 沿一条直线折叠, 直线两旁的部分能够完全重合的图形
轴对称的性质：对应点所连的线段被对称轴垂直平分。
常见的轴对称图形: 线段, 角, 等腰三角形, 等边三角形, 矩形, 菱形, 正方形, 圆
中心对称图形：在平面内，如果把一个图形绕着某个点旋转180°后能与自身重合，那么就说这个图形是中心对称图形。
常见的中心对称图形: 线段, 平行四边形, 矩形, 菱形, 正方形, 圆
注意：等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形。平行四边形是中心对称图形，但一般不是轴对称图形。

四、数据分析

4.1 数据的收集与整理

调查方式:
- 普查
- 抽样调查
数据整理:
- 频数分布表
- 频率分布表
- 条形图
- 扇形图
- 折线图

4.2 数据的描述

平均数: 所有数据的和除以数据的个数
中位数: 将数据从小到大排列, 最中间的数据 (数据个数为偶数时, 取中间两个数的平均数)
众数: 出现次数最多的数据
方差: 各数据与平均数的差的平方的平均数。
标准差: 方差的算术平方根。
加权平均数：将各个数据乘以相应的权，然后加起来，再除以权的总和。

4.3 数据的分析

用样本估计总体: 利用样本的平均数, 方差, 标准差等统计量估计总体的平均数, 方差, 标准差等统计量
判断数据波动性：方差或标准差越大，数据波动性越大；方差或标准差越小，数据波动性越小。
合理决策：根据数据分析的结果，进行合理的判断和决策。

上一个主题：西游记思维导图下一个主题：三年级英语思维导图A3纸