《六年级分数思维导图》

一、 分数的意义与性质

• （一）分数的意义

  • 定义：将单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数。
  • 单位“1”：一个整体，可以是单个物体，也可以是多个物体的集合。
  • 分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数。例如：1/5的分数单位是1/5。
  • 真分数：分子小于分母的分数，真分数小于1。
  • 假分数：分子大于或等于分母的分数，假分数大于或等于1。
  • 带分数：由整数和真分数组成的分数，带分数大于1。
  • 假分数化为带分数/整数：分子÷分母，商为整数部分，余数为分子，分母不变；能整除则直接化为整数。
  • 带分数化为假分数：整数×分母+分子，结果为分子，分母不变。

• （二）分数的基本性质

  • 内容：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
  • 应用：约分和通分的依据。
  • 注意：必须是同时乘或除以相同的数，且0不能作为除数。

• （三）约分

  • 定义：把一个分数化成同它相等，但分子、分母都比较小的分数。
  • 最简分数：分子和分母只有公因数1的分数。
  • 约分方法：用分子和分母的公因数去除分数的分子和分母，通常要除到最简分数。
  • 寻找最大公因数：短除法、分解质因数法。

• （四）通分

  • 定义：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数。
  • 公分母：通分时，通常用原来几个分数分母的最小公倍数作为公分母。
  • 通分方法：先求出原来几个分数分母的最小公倍数，然后把各分数分别化成用这个最小公倍数作分母的分数。
  • 应用：比较异分母分数的大小，分数加减法的基础。
  • 比较异分母分数大小：先通分，化为同分母分数，然后比较分子的大小。

• （五）分数与小数的互化

  • 分数化小数：用分子除以分母。
  • 小数化分数：看是几位小数，就写成分母是10、100、1000…的分数，再约分。
  • 循环小数化分数：比较复杂，六年级通常不作为重点要求。

二、 分数的运算

• （一）分数加减法

  • 同分母分数加减法：分母不变，分子相加减。
  • 异分母分数加减法：先通分，化为同分母分数，然后按照同分母分数加减法进行计算。
  • 带分数加减法：
    • 方法一：把带分数化成假分数，进行计算。
    • 方法二：整数部分和分数部分分别相加减，再进行整理（注意：分数部分相减时，被减数的分数部分可能小于减数的分数部分，需要向整数部分借1）。
  • 简便运算：运用加法运算定律进行简便计算。
    • 加法交换律：a+b=b+a
    • 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

• （二）分数乘法

  • 分数乘整数：用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。计算结果能约分的要约成最简分数。
  • 分数乘分数：用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。计算结果能约分的要约成最简分数。
  • 分数乘法意义：求一个数的几分之几是多少。
  • 倒数的认识：乘积是1的两个数互为倒数。 1的倒数是1，0没有倒数。
  • 求一个数的倒数：把这个数的分子、分母调换位置。 整数可以看成分母是1的分数。
  • 简便运算：运用乘法运算定律进行简便计算。
    • 乘法交换律：a×b=b×a
    • 乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)
    • 乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c / (a-b)×c=a×c-b×c

• （三）分数除法

  • 分数除法的意义：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
  • 分数除法的计算方法：除以一个数等于乘这个数的倒数。
  • 除以整数（0除外）：等于乘这个整数的倒数。
  • 除以分数：等于乘这个分数的倒数。
  • 简便运算：将除法转化为乘法后，运用乘法运算定律进行简便计算。
  • 比的初步认识：两个数相除又叫做两个数的比。比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。

• （四）混合运算

  • 运算顺序：先乘除，后加减；有括号的，先算括号里面的。
  • 简便运算：在混合运算中，灵活运用运算定律进行简便计算。

三、 分数应用题

• （一）求一个数的几分之几是多少

  • 解题方法：用乘法计算。 （“的”字前面是单位“1”，后面是几分之几）

• （二）已知一个数的几分之几是多少，求这个数

  • 解题方法：用除法计算。 （把“的”字前面的数看作单位“1”，后面的分数是分率）
  • 方程法：设未知数为x，根据题意列方程解答。

• （三）稍复杂的分数乘除法应用题

  • 找准单位“1”，分析数量关系，画线段图辅助理解题意。
  • 根据数量关系列式解答。
  • 注意：题目中可能出现多个分数，需要仔细分析每个分数表示的含义。

• （四）百分数的初步认识

  • 定义：表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数，也叫做百分率或百分比。
  • 百分数与分数的区别：百分数只表示两个数之间的倍数关系，不带单位；分数既可以表示具体的数量，也可以表示两个数之间的倍数关系。
  • 百分数、分数、小数互化：灵活掌握互化方法，提高计算效率。

• （五）百分数应用题

  • 求一个数是另一个数的百分之几：用除法计算。
  • 求一个数比另一个数多（少）百分之几：先求出多（少）的部分，再用多（少）的部分除以另一个数。
  • 折扣：商品按原价的百分之几出售，叫做几折。
  • 成数：表示一个数是另一个数的十分之几，叫做几成。
  • 利息：本金×利率×时间
  • 解决与百分数有关的实际问题：理解题意，找准单位“1”，分析数量关系，选择合适的方法解答。

四、 比的应用

• （一）比的意义

  • 定义：两个数相除又叫做两个数的比。
  • 比的各部分名称：a : b = c （a是前项，b是后项，c是比值）。
  • 比值：前项除以后项所得的商。
  • 比与除法、分数的关系：a : b = a ÷ b = a/b (b≠0)

• （二）比的基本性质

  • 内容：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。
  • 应用：化简比的依据。

• （三）化简比

  • 化简整数比：求出前项和后项的最大公因数，然后同时除以最大公因数。
  • 化简分数比：先通分，使分母相同，然后去掉分母，化为整数比，再化简。
  • 化简小数比：先把小数化为整数，再化简。

• （四）按比例分配

  • 定义：把一个数量按照一定的比进行分配，叫做按比例分配。
  • 解题方法：
    1. 求出总份数。
    2. 求出每份数。
    3. 求出各部分数。
  • 也可以用分数乘法解决。

五、 易错点总结

• 单位“1”的判断：仔细分析题意，明确哪个量是单位“1”。
• 分数乘除法的意义混淆：牢记分数乘法的意义是“求一个数的几分之几是多少”，分数除法的意义是“已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数”。
• 运算顺序：严格按照运算顺序进行计算，特别是混合运算。
• 约分和通分：注意约分要约到最简分数，通分要用最小公倍数作为公分母。
• 审题不清：认真阅读题目，理解题意，找准数量关系，避免错误理解导致解题错误。

这个思维导图涵盖了六年级关于分数的主要知识点，可以帮助学生系统地复习和巩固所学内容。