代数式的思维导图

代数式

一、基本概念

• 定义： 用基本的运算符号（+、-、×、÷、乘方、开方）把数或表示数的字母连接起来的式子。
  • 数：包括整数、分数、小数、实数等。
  • 字母：用来表示数的符号，可以代表任何数。
• 单独的数或字母： 也被认为是代数式。
• 注意事项：
  • 除式中不能出现0。
  • 带分数要化为假分数。
  • 乘号通常省略不写，数字与字母相乘时，数字在前，字母在后。
  • 系数为1或-1时，1通常省略不写。
• 分类：
  • 有理式：
    • 整式：单项式和多项式。
    • 分式：分母中含有字母的代数式。
  • 无理式：
    • 根式：含有开方运算的代数式。

二、单项式

• 定义： 由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。
  • 单独的一个数或一个字母也是单项式。
• 系数： 单项式中的数字因数。
  • 包括数字前的符号。
• 次数： 单项式中所有字母的指数的和。
  • 常数的次数为0。
• 示例： 3x², -5ab, ½y, m, -7

三、多项式

• 定义： 几个单项式的和叫做多项式。
• 项： 多项式中的每个单项式叫做多项式的项。
  • 包含项前的符号。
• 常数项： 不含字母的项。
• 次数： 多项式中次数最高的项的次数。
• 项数： 多项式中单项式的个数。
• 示例： 2x² + 3x - 5, a³ - b³ + 3ab

四、整式

• 定义： 单项式和多项式统称为整式。
• 特点： 分母中不含字母。
• 运算：
  • 加减：合并同类项。
  • 乘法：
    • 单项式 × 单项式：系数相乘，相同字母指数相加，不同字母照抄。
    • 单项式 × 多项式：用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
    • 多项式 × 多项式：用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
  • 除法：
    • 单项式 ÷ 单项式：系数相除，相同字母指数相减，只在被除式里含有的字母照抄。
    • 多项式 ÷ 单项式：用多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加。
• 乘法公式：
  • 平方差公式：(a + b)(a - b) = a² - b²
  • 完全平方公式：(a + b)² = a² + 2ab + b² ; (a - b)² = a² - 2ab + b²
  • 立方和公式：a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
  • 立方差公式：a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

五、分式

• 定义： 形如 A/B 的式子，其中 A, B 是整式，且 B 中含有字母。
• 分子： A
• 分母： B
• 分式有意义的条件： 分母 B ≠ 0
• 分式的值为0的条件： 分子 A = 0 且分母 B ≠ 0
• 基本性质： 分式的分子与分母同乘或除以同一个不等于零的整式，分式的值不变。
  • A/B = (A×C)/(B×C) (C≠0)
  • A/B = (A÷C)/(B÷C) (C≠0)
• 约分： 把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形叫做分式的约分。
  • 最简分式：分子和分母没有公因式的分式。
• 通分： 把几个异分母的分式化成同分母的分式，这种变形叫做分式的通分。
  • 最简公分母：各分母所有因式的最高次幂的积。
• 运算：
  • 加减：
    • 同分母分式加减：分母不变，分子加减。
    • 异分母分式加减：先通分，化为同分母分式，再加减。
  • 乘法：分子乘分子，分母乘分母。
  • 除法：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数。
• 分式方程： 含有分式，并且分母里含有未知数的方程。
  • 解分式方程：去分母，化为整式方程，解整式方程，验根。
  • 验根：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则是原分式方程的解，否则不是原分式方程的解。

六、代数式求值

• 直接代入法： 将字母取值直接代入代数式进行计算。
• 整体代入法： 将已知条件作为一个整体代入代数式进行计算。
• 化简后代入法： 先化简代数式，再将字母取值代入化简后的式子进行计算。
• 技巧：
  • 注意字母的取值范围。
  • 当已知条件不易直接代入时，可进行适当的变形，例如因式分解、配方等。

七、应用

• 列代数式： 用代数式表示实际问题中的数量关系。
  • 关键：抓住关键词，理解题意，理清数量关系。
  • 常用关键词：和、差、积、商、倍、分、大、小、多、少、增加、减少等。
• 解决实际问题： 运用代数式解决实际问题，例如：
  • 行程问题
  • 工程问题
  • 利润问题
  • 增长率问题