《小学六年级数学上册比和比例思维导图》

一、比的意义与性质

1. 比的意义

• 定义： 两个数相除又叫做两个数的比。
• 表示： a : b (读作a比b)
  • a：比的前项
  • b：比的后项 (b ≠ 0)
  • ：比号
  • a/b：比值
• 比与除法、分数的关系：
  • 比的前项相当于除法中的被除数、分数中的分子。
  • 比的后项相当于除法中的除数、分数中的分母。
  • 比值相当于除法中的商、分数的值。
• 区别：
  • 比表示两个数的关系；除法是一种运算；分数是一种数。
  • 比可以写成a:b，除法必须进行运算求出商，分数表示一个具体的量。

2. 比的基本性质

• 内容： 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。
• 应用：
  • 化简比（将比化成最简整数比）。
  • 求比值（比的前项除以后项）。
  • 解决比例问题的基础。

3. 比的应用

• 按比例分配： 将一个数量按照一定的比进行分配。

  • 解题方法：
    1. 求出总份数。
    2. 求出每份数。
    3. 分别求出各部分对应的数量。
  • 公式： 某部分所占份数 / 总份数 × 总数量 = 某部分的数量

• 化简比： 将复杂的比化成最简单的整数比。

  • 方法：
    1. 前项和后项都是整数：直接找出前项和后项的最大公因数，然后同时除以最大公因数。
    2. 前项和后项都是分数：先通分，然后去掉分母，再化简。或者将前项和后项同时乘以所有分母的最小公倍数。
    3. 前项和后项都是小数：将前项和后项同时乘以相同的倍数，使之变成整数，再化简。

二、比例的意义与性质

1. 比例的意义

• 定义： 表示两个比相等的式子叫做比例。
• 表示： a : b = c : d 或 a/b = c/d (读作a比b等于c比d)
  • a, d：外项
  • b, c：内项

2. 比例的基本性质

• 内容： 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积 (ad = bc)。
• 应用：
  • 判断两个比能否组成比例。
  • 解比例。

3. 比例尺

• 定义： 图上距离与实际距离的比叫做比例尺。
• 表示：
  • 数值比例尺： 1:n （表示图上1单位长度代表实际距离n单位长度）
  • 线段比例尺： --|-----|-----|-- （表示一段线段代表的实际距离）
• 公式：
  • 比例尺 = 图上距离 / 实际距离
  • 图上距离 = 实际距离 × 比例尺
  • 实际距离 = 图上距离 / 比例尺
• 比例尺的换算： 单位要统一。

4. 正比例与反比例

• 正比例： 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。

  • 关系式： y/x = k (一定) 或 y = kx (k ≠ 0)
  • 特点： 图象是一条直线，通过原点。
  • 例子： 路程和时间（速度一定时）、总价和数量（单价一定时）

• 反比例： 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。

  • 关系式： xy = k (一定) 或 y = k/x (k ≠ 0)
  • 特点： 图象是反比例函数图像的一部分（双曲线的一部分）。
  • 例子： 速度和时间（路程一定时）、单价和数量（总价一定时）

• 判断方法：

  1. 判断两种量是否相关联。
  2. 判断一种量变化，另一种量是否也随着变化。
  3. 判断比值或乘积是否一定。

三、解比例

• 方法： 根据比例的基本性质 (ad = bc)
• 步骤：
  1. 将比例写成等式形式。
  2. 利用比例的基本性质，将比例转化为方程。
  3. 解方程。

四、比例的应用

1. 解决正比例问题

• 方法：
  1. 找出两种相关联的量，判断它们是否成正比例。
  2. 设未知数。
  3. 根据正比例关系列出比例式。
  4. 解比例。
  5. 检验并写出答案。

2. 解决反比例问题

• 方法：
  1. 找出两种相关联的量，判断它们是否成反比例。
  2. 设未知数。
  3. 根据反比例关系列出方程。
  4. 解方程。
  5. 检验并写出答案。

五、综合应用

• 比例知识与几何图形、行程问题、工程问题等结合。
• 灵活运用比和比例的性质解决实际问题。
• 注意单位统一。
• 养成检验的习惯。

上一个主题： 西游记思维导图 下一个主题： 初中化学思维导图绘制比赛