六年级数学第一单元思维导图

一、分数乘法

1. 分数乘整数

• 概念： 求几个相同分数相加的简便运算。
• 计算方法： 分母不变，分子和整数相乘的积作分子。
• 注意： 计算结果能约分的要约成最简分数。
• 举例： (1/3) × 2 = (1 × 2) / 3 = 2/3

2. 分数乘分数

• 概念： 求一个数的几分之几是多少。
• 计算方法： 分子乘分子，分母乘分母。
• 注意： 计算前能约分的先约分，然后再计算，可以简化计算过程。 约分时，只能分子和分母约分。
• 举例： (2/5) × (3/4) = (2 ÷ 2)/(5) × (3)/(4 ÷ 2) = (1/5) × (3/2) = 3/10

3. 积与因数的关系

• 一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数。 例如： 5 × (3/2) > 5
• 一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数。 例如： 5 × (2/3) < 5
• 一个数（0除外）乘等于1的数，积等于这个数。 例如： 5 × 1 = 5

4. 分数混合运算

• 运算顺序： 与整数混合运算顺序相同。
  • 先乘除，后加减。
  • 有括号的先算括号里面的，再算括号外面的。
• 简便计算： 运用乘法运算定律进行简便计算。
  • 乘法交换律： a × b = b × a
  • 乘法结合律： (a × b) × c = a × (b × c)
  • 乘法分配律： (a + b) × c = a × c + b × c 或 a × (b + c) = a × b + a × c
  • 乘法分配律逆用: a × c + b × c = (a + b) × c 或 a × b + a × c = a × (b + c)

5. 倒数的认识

• 概念： 乘积是1的两个数互为倒数。
• 求一个数的倒数：
  • 求整数的倒数：把整数看作分母是1的分数，然后分子分母颠倒位置。 例如： 5的倒数是1/5。
  • 求分数的倒数：分子分母颠倒位置。 例如： 2/3的倒数是3/2。
  • 求小数的倒数：先把小数化成分数，再分子分母颠倒位置。 例如： 0.25 = 1/4， 0.25的倒数是4/1。
  • 求带分数的倒数：先把带分数化成假分数，再分子分母颠倒位置。例如： 1 又 1/2 = 3/2， 1 又 1/2的倒数是2/3。
• 特殊情况：
  • 1的倒数是1。
  • 0没有倒数。

二、分数乘法的应用

1. 求一个数的几分之几是多少

• 解题思路： 将“一个数”看作单位“1”，用乘法计算。
• 数量关系式： 要求的量 = 单位“1”的量 × 对应的分数
• 例题： 篮球价格80元，足球的价格是篮球的3/4，足球的价格是多少元？
  • 解： 80 × (3/4) = 60（元）

2. 稍复杂的分数乘法应用题

• 解题思路：
  • 找准单位“1”。
  • 分析数量关系，画线段图辅助理解题意。
  • 根据数量关系列式计算。
• 类型一：连乘问题
  • 例题： 某工厂生产一批零件，第一天生产了总数的1/3，第二天生产了第一天的2/5，第二天生产了总数的几分之几？
    • 解： (1/3) × (2/5) = 2/15
• 类型二：涉及倒数关系的问题
  • 例题： A是B的2/3，B是C的3/4，如果C是24，那么A是多少？
    • 解： B = 24 × (3/4) = 18
    • A = 18 × (2/3) = 12
• 解题步骤：
  1. 审题，理解题意。
  2. 确定单位“1”。
  3. 分析数量关系，画线段图。
  4. 列式计算，检验答案。

3. 比的意义和读写法

• 概念： 两个数相除又叫做两个数的比。
• 各部分名称：
  • 比号： :
  • 比的前项： 比号前面的数
  • 比的后项： 比号后面的数
  • 比值： 前项除以后项所得的商
• 读法： 读作 “几比几”。
• 求比值： 用前项除以后项。 例如： 3:5的比值是 3 ÷ 5 = 3/5
• 比与除法、分数的关系：

项目	比	除法	分数
关系	一种关系	一种运算	一种数
各部分名称	前项：后项	被除数÷除数	分子/分母
比号、运算符号、分数线	:	÷	/

4. 比的基本性质

• 性质： 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。
• 应用： 化简比。

5. 化简比

• 概念： 把一个比化成最简单的整数比。
• 方法：
  • 整数比： 前项和后项同时除以它们的最大公约数。 例如： 12:18 = (12÷6):(18÷6) = 2:3
  • 分数比： 先把比的前项和后项同时乘它们分母的最小公倍数，化成整数比，再化简。 例如： (1/2) : (2/3) = (1/2 × 6) : (2/3 × 6) = 3:4
  • 小数比： 先把比的前项和后项同时扩大相同的倍数，化成整数比，再化简。 例如： 0.5 : 0.75 = (0.5 × 100) : (0.75 × 100) = 50:75 = (50÷25):(75÷25) = 2:3
• 最简整数比： 比的前项和后项互质。

6. 按比例分配

• 概念： 把一个数量按照一定的比进行分配。
• 解题思路：
  • 先求出总份数。
  • 再求出每份是多少。
  • 最后求出各部分是多少。
• 方法一： 先求出总份数，再求出每份是多少，最后求出各部分是多少。
• 方法二： 先把总数看作单位“1”，求出各部分占总数的几分之几，再求出各部分是多少。
• 例题： 用48厘米的铁丝做一个长方体的框架。长、宽、高的比是3:2:1。这个长方体的长、宽、高分别是多少？
  • 解： 长 + 宽 + 高 = 48 ÷ 4 = 12 (厘米)
  • 总份数： 3 + 2 + 1 = 6
  • 每份： 12 ÷ 6 = 2 (厘米)
  • 长： 2 × 3 = 6 (厘米)
  • 宽： 2 × 2 = 4 (厘米)
  • 高： 2 × 1 = 2 (厘米)

三、易错点总结

• 约分时，只能分子和分母约分。
• 求倒数时，0没有倒数。
• 比的前项和后项可以同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。
• 化简比的结果必须是最简整数比。
• 按比例分配问题，要先确定分配的总量和分配的比例。

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