关于整式的思维导图
《关于整式的思维导图》
一、整式概述
1. 定义
- 由数与字母的积组成的单项式和几个单项式的和组成的代数式。
- 运算：加、减、乘、乘方。 除式中不含字母。
2. 分类
- 单项式:
- 定义：由数字与字母的积或单独的一个数组成的代数式。
- 系数：单项式中的数字因数。
- 次数：单项式中所有字母的指数的和。
- 特例：单独的数字或字母也是单项式。
- 多项式:
- 定义：几个单项式的和组成的代数式。
- 项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项。
- 常数项：不含字母的项。
- 次数：多项式中次数最高的项的次数。
- 整式:
二、单项式
1. 系数
- 定义：单项式中的数字因数（包括符号）。
- 注意：
- 系数必须包括前面的符号。
- 当系数是1或-1时，“1”通常省略不写。
- 圆周率π是常数，属于系数。
2. 次数
3. 同类项
- 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。
- 特征：
- 字母相同。
- 相同字母的指数相同。
- 与系数无关。
- 与字母的排列顺序无关。
三、多项式
1. 项
- 定义：多项式中的每个单项式。
- 注意：每个项都包含它前面的符号。
2. 常数项
3. 次数
- 定义：多项式中次数最高的项的次数。
- 注意：不是所有项次数的和。
4. 升幂/降幂排列
- 升幂排列：按照某一个字母的指数从小到大排列。
- 降幂排列：按照某一个字母的指数从大到小排列。
- 注意：
- 要明确是按照哪个字母排列。
- 排列时要带着每一项的符号。
四、整式的运算
1. 加减运算
- 合并同类项：
- 步骤：
- 找出同类项。
- 运用分配律将同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。
- 法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。
- 去括号法则：
- 括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项的符号都不变。
- 括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里各项的符号都要改变。
2. 乘法运算
- 单项式乘以单项式：
- 法则：系数与系数相乘，相同字母的幂相乘，其余字母连同其指数不变，都作为积的因式。
- 单项式乘以多项式：
- 法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
- 公式：a(b+c) = ab + ac
- 多项式乘以多项式：
- 法则：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
- 公式：(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd
- 乘法公式：
- 平方差公式：(a+b)(a-b) = a² - b²
- 完全平方公式：(a+b)² = a² + 2ab + b²
- 完全平方公式：(a-b)² = a² - 2ab + b²
3. 乘方运算
- 幂的运算性质：
- 同底数幂的乘法：aᵐ * aⁿ = aᵐ⁺ⁿ (m, n 为正整数)
- 幂的乘方：(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ (m, n 为正整数)
- 积的乘方：(ab)ⁿ = aⁿbⁿ (n 为正整数)
4. 除法运算
- 同底数幂的除法：aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (a≠0, m, n 为正整数, 且 m > n)
- 单项式除以单项式：把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
- 多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
五、应用
1. 代数式求值
2. 几何问题
3. 实际问题
六、注意事项
- 符号问题：加减运算中的符号，乘法运算中的符号。
- 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减。 有括号的先算括号里面的。
- 易错点：合并同类项时，注意系数的正负；去括号时，括号前面是“-”号，括号里的每一项都要变号。
- 熟练掌握公式和运算法则。
