数学高一必修一思维导图三角函数

# 《数学高一必修一思维导图三角函数》 ## I. 角度与弧度制 ### 1. 角的概念推广 * **定义：** 由一条射线绕端点旋转形成的图形。 * **正角、负角、零角：** * 正角：逆时针旋转 * 负角：顺时针旋转 * 零角：不旋转 * **象限角：** 角的终边所在的象限。 * **终边相同的角：** 所有与角 α 终边相同的角，包括 α，可以表示为：{β | β = α + 2kπ, k ∈ Z} 或 {β | β = α + 360k°, k ∈ Z} ### 2. 弧度制 * **定义：** 以半径为 1 的圆的圆心角所对的弧长等于这个角的弧度数。 * **换算关系：** * 180° = π rad * 1 rad = (180/π)° ≈ 57.30° * **弧长公式：** l = |α|r （其中 l 是弧长，α 是弧度角，r 是半径） * **扇形面积公式：** S = (1/2)lr = (1/2)|α|r² ## II. 三角函数的定义 ### 1. 单位圆定义 * **设 α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x, y)。** * **正弦：** sin α = y * **余弦：** cos α = x * **正切：** tan α = y/x (x ≠ 0) * **余切：** cot α = x/y (y ≠ 0) * **正割：** sec α = 1/x (x ≠ 0) * **余割：** csc α = 1/y (y ≠ 0) ### 2. 任意角的三角函数 * **设点 P(x, y) 是角 α 终边上任意一点 (非原点)。** * **r = √(x² + y²)** * **sin α = y/r** * **cos α = x/r** * **tan α = y/x (x ≠ 0)** ### 3. 各象限三角函数的符号 * **一全正：** 第一象限，所有三角函数值均为正。 * **二正弦：** 第二象限，正弦值为正，其余为负。 * **三正切：** 第三象限，正切值为正，其余为负。 * **四余弦：** 第四象限，余弦值为正，其余为负。 * **口诀：** 一全正，二正弦，三正切，四余弦. ## III. 同角三角函数的基本关系 ### 1. 平方关系： * sin²α + cos²α = 1 ### 2. 商数关系： * tan α = sin α / cos α (cos α ≠ 0) * cot α = cos α / sin α (sin α ≠ 0) ### 3. 倒数关系： * sin α · csc α = 1 * cos α · sec α = 1 * tan α · cot α = 1 ### 4. 变形应用： * sin α = ±√(1 - cos²α) * cos α = ±√(1 - sin²α) * (sin α + cos α)² = 1 + 2sin α cos α * (sin α - cos α)² = 1 - 2sin α cos α ## IV. 诱导公式 ### 1. 公式一： * sin(α + 2kπ) = sin α * cos(α + 2kπ) = cos α * tan(α + 2kπ) = tan α (k ∈ Z) ### 2. 公式二： * sin(-α) = -sin α * cos(-α) = cos α * tan(-α) = -tan α ### 3. 公式三： * sin(π + α) = -sin α * cos(π + α) = -cos α * tan(π + α) = tan α ### 4. 公式四： * sin(π - α) = sin α * cos(π - α) = -cos α * tan(π - α) = -tan α ### 5. 公式五： * sin(π/2 - α) = cos α * cos(π/2 - α) = sin α * tan(π/2 - α) = cot α ### 6. 公式六： * sin(π/2 + α) = cos α * cos(π/2 + α) = -sin α * tan(π/2 + α) = -cot α ### 7. 总结： * **奇变偶不变，符号看象限** (π/2的奇数倍，函数名改变；偶数倍，函数名不变；符号看α+kπ/2的终边所在象限，对应三角函数的符号) ## V. 三角函数的图像与性质 ### 1. 正弦函数 y = sin x * **定义域：** R * **值域：** [-1, 1] * **周期性：** T = 2π * **奇偶性：** 奇函数 * **单调性：** 在 [-π/2 + 2kπ, π/2 + 2kπ] (k ∈ Z) 上递增；在 [π/2 + 2kπ, 3π/2 + 2kπ] (k ∈ Z) 上递减。 * **对称性：** 关于原点对称，关于直线 x = π/2 + kπ (k ∈ Z) 对称。 * **最值：** 当 x = π/2 + 2kπ (k ∈ Z) 时，ymax = 1；当 x = 3π/2 + 2kπ (k ∈ Z) 时，ymin = -1。 ### 2. 余弦函数 y = cos x * **定义域：** R * **值域：** [-1, 1] * **周期性：** T = 2π * **奇偶性：** 偶函数 * **单调性：** 在 [2kπ, π + 2kπ] (k ∈ Z) 上递减；在 [π + 2kπ, 2π + 2kπ] (k ∈ Z) 上递增。 * **对称性：** 关于 y 轴对称，关于直线 x = kπ (k ∈ Z) 对称。 * **最值：** 当 x = 2kπ (k ∈ Z) 时，ymax = 1；当 x = π + 2kπ (k ∈ Z) 时，ymin = -1。 ### 3. 正切函数 y = tan x * **定义域：** {x | x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z} * **值域：** R * **周期性：** T = π * **奇偶性：** 奇函数 * **单调性：** 在 (-π/2 + kπ, π/2 + kπ) (k ∈ Z) 上递增。 * **对称性：** 关于原点对称。 * **渐近线：** x = π/2 + kπ (k ∈ Z) ### 4. 函数 y = Asin(ωx + φ) * **振幅：** |A| * **周期：** T = 2π/|ω| * **频率：** f = |ω|/2π * **相位：** ωx + φ * **初相：** φ * **图像变换：** 平移、伸缩 * 左右平移：y = Asin(ω(x ± Δx) + φ) ，左加右减 * 上下平移：y = Asin(ωx + φ) ± Δy，上加下减 * 横向伸缩：y = Asin(λωx + φ)， 周期变为原来的 1/λ * 纵向伸缩：y = λAsin(ωx + φ)，振幅变为原来的 λ 倍

上一个主题： 西游记思维导图 下一个主题： 人教版四年级上册数学第三单元观察物体的思维导图