《数学高一必修一思维导图三角函数》
I. 角度与弧度制
1. 角的概念推广
- 定义： 由一条射线绕端点旋转形成的图形。
- 正角、负角、零角：
- 象限角： 角的终边所在的象限。
- 终边相同的角： 所有与角 α 终边相同的角，包括 α，可以表示为：{β | β = α + 2kπ, k ∈ Z} 或 {β | β = α + 360k°, k ∈ Z}
2. 弧度制
- 定义： 以半径为 1 的圆的圆心角所对的弧长等于这个角的弧度数。
- 换算关系：
- 180° = π rad
- 1 rad = (180/π)° ≈ 57.30°
- 弧长公式： l = |α|r （其中 l 是弧长，α 是弧度角，r 是半径）
- 扇形面积公式： S = (1/2)lr = (1/2)|α|r²
II. 三角函数的定义
1. 单位圆定义
- 设 α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x, y)。
- 正弦： sin α = y
- 余弦： cos α = x
- 正切： tan α = y/x (x ≠ 0)
- 余切： cot α = x/y (y ≠ 0)
- 正割： sec α = 1/x (x ≠ 0)
- 余割： csc α = 1/y (y ≠ 0)
2. 任意角的三角函数
- 设点 P(x, y) 是角 α 终边上任意一点 (非原点)。
- r = √(x² + y²)
- sin α = y/r
- cos α = x/r
- tan α = y/x (x ≠ 0)
3. 各象限三角函数的符号
- 一全正： 第一象限，所有三角函数值均为正。
- 二正弦： 第二象限，正弦值为正，其余为负。
- 三正切： 第三象限，正切值为正，其余为负。
- 四余弦： 第四象限，余弦值为正，其余为负。
- 口诀： 一全正，二正弦，三正切，四余弦.
III. 同角三角函数的基本关系
1. 平方关系：
2. 商数关系：
- tan α = sin α / cos α (cos α ≠ 0)
- cot α = cos α / sin α (sin α ≠ 0)
3. 倒数关系：
- sin α · csc α = 1
- cos α · sec α = 1
- tan α · cot α = 1
4. 变形应用：
- sin α = ±√(1 - cos²α)
- cos α = ±√(1 - sin²α)
- (sin α + cos α)² = 1 + 2sin α cos α
- (sin α - cos α)² = 1 - 2sin α cos α
IV. 诱导公式
1. 公式一：
- sin(α + 2kπ) = sin α
- cos(α + 2kπ) = cos α
- tan(α + 2kπ) = tan α (k ∈ Z)
2. 公式二：
- sin(-α) = -sin α
- cos(-α) = cos α
- tan(-α) = -tan α
3. 公式三：
- sin(π + α) = -sin α
- cos(π + α) = -cos α
- tan(π + α) = tan α
4. 公式四：
- sin(π - α) = sin α
- cos(π - α) = -cos α
- tan(π - α) = -tan α
5. 公式五：
- sin(π/2 - α) = cos α
- cos(π/2 - α) = sin α
- tan(π/2 - α) = cot α
6. 公式六：
- sin(π/2 + α) = cos α
- cos(π/2 + α) = -sin α
- tan(π/2 + α) = -cot α
7. 总结：
- 奇变偶不变，符号看象限 (π/2的奇数倍，函数名改变；偶数倍，函数名不变；符号看α+kπ/2的终边所在象限，对应三角函数的符号)
V. 三角函数的图像与性质
1. 正弦函数 y = sin x
- 定义域： R
- 值域： [-1, 1]
- 周期性： T = 2π
- 奇偶性： 奇函数
- 单调性： 在 [-π/2 + 2kπ, π/2 + 2kπ] (k ∈ Z) 上递增；在 [π/2 + 2kπ, 3π/2 + 2kπ] (k ∈ Z) 上递减。
- 对称性： 关于原点对称，关于直线 x = π/2 + kπ (k ∈ Z) 对称。
- 最值： 当 x = π/2 + 2kπ (k ∈ Z) 时，ymax = 1；当 x = 3π/2 + 2kπ (k ∈ Z) 时，ymin = -1。
2. 余弦函数 y = cos x
- 定义域： R
- 值域： [-1, 1]
- 周期性： T = 2π
- 奇偶性： 偶函数
- 单调性： 在 [2kπ, π + 2kπ] (k ∈ Z) 上递减；在 [π + 2kπ, 2π + 2kπ] (k ∈ Z) 上递增。
- 对称性： 关于 y 轴对称，关于直线 x = kπ (k ∈ Z) 对称。
- 最值： 当 x = 2kπ (k ∈ Z) 时，ymax = 1；当 x = π + 2kπ (k ∈ Z) 时，ymin = -1。
3. 正切函数 y = tan x
- 定义域： {x | x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z}
- 值域： R
- 周期性： T = π
- 奇偶性： 奇函数
- 单调性： 在 (-π/2 + kπ, π/2 + kπ) (k ∈ Z) 上递增。
- 对称性： 关于原点对称。
- 渐近线： x = π/2 + kπ (k ∈ Z)
4. 函数 y = Asin(ωx + φ)
* **振幅：** |A|
* **周期：** T = 2π/|ω|
* **频率：** f = |ω|/2π
* **相位：** ωx + φ
* **初相：** φ
* **图像变换：** 平移、伸缩
* 左右平移：y = Asin(ω(x ± Δx) + φ) ，左加右减
* 上下平移：y = Asin(ωx + φ) ± Δy，上加下减
* 横向伸缩：y = Asin(λωx + φ)， 周期变为原来的 1/λ
* 纵向伸缩：y = λAsin(ωx + φ)，振幅变为原来的 λ 倍
