直线与圆思维导图

# 《直线与圆思维导图》

## 一、 直线

### 1. 直线的方程

#### 1.1 点斜式
*   公式：y - y₀ = k(x - x₀)
*   适用范围：已知斜率 k 和一点 (x₀, y₀)
*   注意事项：斜率不存在时，直线方程为 x = x₀

#### 1.2 斜截式
*   公式：y = kx + b
*   适用范围：已知斜率 k 和 y 轴截距 b
*   特殊情况：b = 0 时，直线过原点

#### 1.3 两点式
*   公式：(y - y₁) / (y₂ - y₁) = (x - x₁) / (x₂ - x₁)
*   适用范围：已知两点 (x₁, y₁) 和 (x₂, y₂)
*   注意事项：x₁ ≠ x₂ 且 y₁ ≠ y₂

#### 1.4 截距式
*   公式：x / a + y / b = 1
*   适用范围：已知 x 轴截距 a 和 y 轴截距 b
*   注意事项：a ≠ 0 且 b ≠ 0

#### 1.5 一般式
*   公式：Ax + By + C = 0 (A, B 不同时为 0)
*   特点：适用于所有直线，便于进行直线间的关系判断
*   斜率：k = -A / B (B ≠ 0)
*   y 轴截距：b = -C / B (B ≠ 0)
*   x 轴截距：a = -C / A (A ≠ 0)

### 2. 直线的位置关系

#### 2.1 平行
*   条件：k₁ = k₂ 且 b₁ ≠ b₂ (斜截式) 或 A₁/A₂ = B₁/B₂ ≠ C₁/C₂ (一般式)
*   特点：斜率相等，y 轴截距不等或对应系数成比例但常数项不成比例

#### 2.2 相交
*   条件：k₁ ≠ k₂ (斜截式) 或 A₁/A₂ ≠ B₁/B₂ (一般式)
*   特点：斜率不等或对应系数不成比例

#### 2.3 重合
*   条件：k₁ = k₂ 且 b₁ = b₂ (斜截式) 或 A₁/A₂ = B₁/B₂ = C₁/C₂ (一般式)
*   特点：斜率相等，y 轴截距相等或对应系数成比例

#### 2.4 垂直
*   条件：k₁ * k₂ = -1 (斜截式) 或 A₁A₂ + B₁B₂ = 0 (一般式)
*   特点：斜率乘积为 -1 或 A, B 对应系数乘积之和为0

### 3. 直线与点的关系

#### 3.1 点到直线的距离
*   公式：d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)
*   适用范围：点 (x₀, y₀) 到直线 Ax + By + C = 0 的距离

### 4. 两直线的夹角与交点

#### 4.1 夹角
*   公式：tan θ = |(k₁ - k₂) / (1 + k₁k₂)|
*   特殊情况：垂直时，夹角为 90°

#### 4.2 交点
*   求解方法：联立两条直线方程，解方程组
*   特殊情况：无解时，直线平行；无穷多解时，直线重合

## 二、 圆

### 1. 圆的方程

#### 1.1 标准方程
*   公式：(x - a)² + (y - b)² = r²
*   圆心：(a, b)
*   半径：r

#### 1.2 一般方程
*   公式：x² + y² + Dx + Ey + F = 0 (D² + E² - 4F > 0)
*   圆心：(-D/2, -E/2)
*   半径：r = √(D²/4 + E²/4 - F)
*   注意事项：D² + E² - 4F > 0 是圆存在的条件

### 2. 点与圆的位置关系

#### 2.1 点在圆内
*   条件：(x₀ - a)² + (y₀ - b)² < r²
*   几何意义：点到圆心的距离小于半径

#### 2.2 点在圆上
*   条件：(x₀ - a)² + (y₀ - b)² = r²
*   几何意义：点到圆心的距离等于半径

#### 2.3 点在圆外
*   条件：(x₀ - a)² + (y₀ - b)² > r²
*   几何意义：点到圆心的距离大于半径

### 3. 直线与圆的位置关系

#### 3.1 相交
*   判断方法：圆心到直线的距离 d < r
*   代数方法：联立直线和圆的方程，所得一元二次方程 Δ > 0

#### 3.2 相切
*   判断方法：圆心到直线的距离 d = r
*   代数方法：联立直线和圆的方程，所得一元二次方程 Δ = 0

#### 3.3 相离
*   判断方法：圆心到直线的距离 d > r
*   代数方法：联立直线和圆的方程，所得一元二次方程 Δ < 0

### 4. 圆与圆的位置关系

#### 4.1 外离
*   条件：d > R + r (d 为圆心距，R, r 为半径)

#### 4.2 外切
*   条件：d = R + r

#### 4.3 相交
*   条件：|R - r| < d < R + r

#### 4.4 内切
*   条件：d = |R - r|

#### 4.5 内含
*   条件：d < |R - r|

### 5. 圆的切线

#### 5.1 过圆上一点的切线
*   方法：已知圆 (x - a)² + (y - b)² = r² 上一点 (x₀, y₀)，切线方程为 (x₀ - a)(x - a) + (y₀ - b)(y - b) = r²

#### 5.2 过圆外一点的切线
*   方法：设切线方程为 y - y₀ = k(x - x₀)，利用圆心到直线的距离等于半径求解 k，可能有两条切线

### 6. 弦长问题

#### 6.1 计算方法
*   几何法：利用弦心距、半径和半弦长构成直角三角形，运用勾股定理
*   代数法：联立直线和圆的方程，求出交点坐标，利用两点间距离公式

### 7. 对称问题

#### 7.1 点关于直线对称
*   方法：利用中点在直线上和连线与直线垂直的条件

#### 7.2 直线关于直线对称
*   方法：取直线上的点，求出对称点，连接对称点得到对称直线

### 8. 与圆有关的最值问题

#### 8.1 点到圆的最大/最小距离
*   方法：点到圆心的距离加/减半径

#### 8.2 圆上的点到直线的最大/最小距离
*   方法：圆心到直线的距离加/减半径

《直线与圆思维导图》

一、直线

1. 直线的方程

1.1 点斜式

公式：y - y₀ = k(x - x₀)
适用范围：已知斜率 k 和一点 (x₀, y₀)
注意事项：斜率不存在时，直线方程为 x = x₀

1.2 斜截式

公式：y = kx + b
适用范围：已知斜率 k 和 y 轴截距 b
特殊情况：b = 0 时，直线过原点

1.3 两点式

公式：(y - y₁) / (y₂ - y₁) = (x - x₁) / (x₂ - x₁)
适用范围：已知两点 (x₁, y₁) 和 (x₂, y₂)
注意事项：x₁ ≠ x₂ 且 y₁ ≠ y₂

1.4 截距式

公式：x / a + y / b = 1
适用范围：已知 x 轴截距 a 和 y 轴截距 b
注意事项：a ≠ 0 且 b ≠ 0

1.5 一般式

公式：Ax + By + C = 0 (A, B 不同时为 0)
特点：适用于所有直线，便于进行直线间的关系判断
斜率：k = -A / B (B ≠ 0)
y 轴截距：b = -C / B (B ≠ 0)
x 轴截距：a = -C / A (A ≠ 0)

2. 直线的位置关系

2.1 平行

条件：k₁ = k₂ 且 b₁ ≠ b₂ (斜截式) 或 A₁/A₂ = B₁/B₂ ≠ C₁/C₂ (一般式)
特点：斜率相等，y 轴截距不等或对应系数成比例但常数项不成比例

2.2 相交

条件：k₁ ≠ k₂ (斜截式) 或 A₁/A₂ ≠ B₁/B₂ (一般式)
特点：斜率不等或对应系数不成比例

2.3 重合

条件：k₁ = k₂ 且 b₁ = b₂ (斜截式) 或 A₁/A₂ = B₁/B₂ = C₁/C₂ (一般式)
特点：斜率相等，y 轴截距相等或对应系数成比例

2.4 垂直

条件：k₁ * k₂ = -1 (斜截式) 或 A₁A₂ + B₁B₂ = 0 (一般式)
特点：斜率乘积为 -1 或 A, B 对应系数乘积之和为0

3. 直线与点的关系

3.1 点到直线的距离

公式：d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)
适用范围：点 (x₀, y₀) 到直线 Ax + By + C = 0 的距离

4. 两直线的夹角与交点

4.1 夹角

公式：tan θ = |(k₁ - k₂) / (1 + k₁k₂)|
特殊情况：垂直时，夹角为 90°

4.2 交点

求解方法：联立两条直线方程，解方程组
特殊情况：无解时，直线平行；无穷多解时，直线重合

二、圆

1. 圆的方程

1.1 标准方程

公式：(x - a)² + (y - b)² = r²
圆心：(a, b)
半径：r

1.2 一般方程

公式：x² + y² + Dx + Ey + F = 0 (D² + E² - 4F > 0)
圆心：(-D/2, -E/2)
半径：r = √(D²/4 + E²/4 - F)
注意事项：D² + E² - 4F > 0 是圆存在的条件

2. 点与圆的位置关系

2.1 点在圆内

条件：(x₀ - a)² + (y₀ - b)² < r²
几何意义：点到圆心的距离小于半径

2.2 点在圆上

条件：(x₀ - a)² + (y₀ - b)² = r²
几何意义：点到圆心的距离等于半径

2.3 点在圆外

条件：(x₀ - a)² + (y₀ - b)² > r²
几何意义：点到圆心的距离大于半径

3. 直线与圆的位置关系

3.1 相交

判断方法：圆心到直线的距离 d < r
代数方法：联立直线和圆的方程，所得一元二次方程 Δ > 0

3.2 相切

判断方法：圆心到直线的距离 d = r
代数方法：联立直线和圆的方程，所得一元二次方程 Δ = 0

3.3 相离

判断方法：圆心到直线的距离 d > r
代数方法：联立直线和圆的方程，所得一元二次方程 Δ < 0

4. 圆与圆的位置关系

4.1 外离

条件：d > R + r (d 为圆心距，R, r 为半径)

4.2 外切

条件：d = R + r

4.3 相交

条件：|R - r| < d < R + r

4.4 内切

条件：d = |R - r|

4.5 内含

条件：d < |R - r|

5. 圆的切线

5.1 过圆上一点的切线

方法：已知圆 (x - a)² + (y - b)² = r² 上一点 (x₀, y₀)，切线方程为 (x₀ - a)(x - a) + (y₀ - b)(y - b) = r²

5.2 过圆外一点的切线

方法：设切线方程为 y - y₀ = k(x - x₀)，利用圆心到直线的距离等于半径求解 k，可能有两条切线

6. 弦长问题

6.1 计算方法

几何法：利用弦心距、半径和半弦长构成直角三角形，运用勾股定理
代数法：联立直线和圆的方程，求出交点坐标，利用两点间距离公式

7. 对称问题

7.1 点关于直线对称

方法：利用中点在直线上和连线与直线垂直的条件

7.2 直线关于直线对称

方法：取直线上的点，求出对称点，连接对称点得到对称直线

8. 与圆有关的最值问题

8.1 点到圆的最大/最小距离

方法：点到圆心的距离加/减半径

8.2 圆上的点到直线的最大/最小距离

方法：圆心到直线的距离加/减半径

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