《五年级上册总复习全部所有数与代数的思维导图》
一、小数乘法
1.1 意义
- 1.1.1 小数乘整数： 求几个相同加数的和的简便运算。
- 例子： 0.8 × 3 表示求 3 个 0.8 的和是多少。
- 1.1.2 小数乘小数： 求一个数的几分之几是多少。
- 例子： 0.8 × 0.5 表示求 0.8 的 0.5 倍是多少。
1.2 计算法则
- 1.2.1 竖式计算：
- 对齐：末位对齐，按整数乘法计算。
- 积的位数： 看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。
- 位数不够：位数不够时，在前面用 0 补足。
- 末尾的 0： 积的末尾有 0 要化简。
- 1.2.2 估算： 将小数看成与它接近的整数进行估算。
1.3 积的变化规律
- 1.3.1 一个因数不变，另一个因数扩大（缩小）几倍，积也扩大（缩小）相同的倍数。
- 1.3.2 一个因数扩大 m 倍，另一个因数扩大 n 倍，积扩大 m × n 倍。
- 1.3.3 一个因数缩小 m 倍，另一个因数缩小 n 倍，积缩小 m × n 倍。
1.4 简便计算
- 1.4.1 乘法交换律： a × b = b × a
- 1.4.2 乘法结合律： (a × b) × c = a × (b × c)
- 1.4.3 乘法分配律： (a + b) × c = a × c + b × c 和 a × (b + c) = a × b + a × c
- 1.4.4 减法的性质： a - b - c = a - (b + c)
1.5 解决问题
- 1.5.1 总价 = 单价 × 数量
- 1.5.2 路程 = 速度 × 时间
- 1.5.3 涉及单价、数量、总价的实际问题。
- 1.5.4 涉及路程、速度、时间的实际问题。
二、小数除法
2.1 意义
- 2.1.1 小数除以整数： 已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
- 2.1.2 一个数除以小数： 意义与整数除法相同。
2.2 计算法则
- 2.2.1 除数是整数：
- 按整数除法的方法去除。
- 商的小数点要和被除数的小数点对齐。
- 如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添 0 再继续除。
- 2.2.2 除数是小数：
- 移动除数的小数点，使它变成整数。
- 除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用“0”补足）。
- 按照除数是整数的小数除法进行计算。
2.3 商的变化规律
- 2.3.1 被除数不变，除数扩大（缩小）几倍，商反而缩小（扩大）相同的倍数。
- 2.3.2 除数不变，被除数扩大（缩小）几倍，商也扩大（缩小）相同的倍数。
- 2.3.3 被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0 除外），商不变。
2.4 近似数
- 2.4.1 保留几位小数： 看保留的位数的后一位，四舍五入。
- 2.4.2 循环小数： 一个小数，从小数部分的某一位起，一个或几个数字依次重复出现，这样的小数叫做循环小数。
- 循环节： 在循环小数中，依次不断重复出现的数字叫做循环节。
- 简便写法： 写两个循环节，加上省略号或者在循环节的首尾数字上加点。
- 2.4.3 有限小数： 小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数。
- 2.4.4 无限小数： 小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。
- 2.4.5 解决实际问题： 根据实际情况用“去尾法”或“进一法”取近似值。
2.5 简便计算
- 2.5.1 除法的性质： a ÷ b ÷ c = a ÷ (b × c)
2.6 解决问题
- 2.6.1 涉及单价、数量、总价的实际问题。
- 2.6.2 涉及路程、速度、时间的实际问题。
- 2.6.3 平均数问题：总数量 ÷ 总份数 = 平均数
- 2.6.4 比较大小：单位统一后再进行比较。
三、简易方程
3.1 用字母表示数
- 3.1.1 表示数量： a, b, x, y 等。
- 3.1.2 表示运算定律：
- 加法交换律： a + b = b + a
- 加法结合律： (a + b) + c = a + (b + c)
- 乘法交换律： a × b = b × a
- 乘法结合律： (a × b) × c = a × (b × c)
- 乘法分配律： (a + b) × c = a × c + b × c
- 3.1.3 表示计算公式：
- 正方形面积： S = a²
- 正方形周长： C = 4a
- 长方形面积： S = ab
- 长方形周长： C = 2(a + b)
3.2 方程的意义
- 3.2.1 方程： 含有未知数的等式叫做方程。
- 3.2.2 等式： 表示相等关系的式子叫做等式。
- 3.2.3 方程一定是等式，但等式不一定是方程。
3.3 等式的性质
- 3.3.1 等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。
- 3.3.2 等式两边同时乘或除以同一个数（0 除外），所得结果仍然是等式。
3.4 解方程
- 3.4.1 解方程： 求方程的解的过程叫做解方程。
- 3.4.2 方程的解： 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
- 3.4.3 解方程的依据： 等式的性质。
3.5 列方程解决问题
- 3.5.1 审题： 弄清题意，找出未知数，用 x 表示。
- 3.5.2 找等量关系： 分析题目中的数量关系，找出等量关系式。
- 3.5.3 列方程： 根据等量关系式列出方程。
- 3.5.4 解方程： 解方程，求出未知数的值。
- 3.5.5 检验： 检验求得的解是否正确。
3.6 数量关系
- 3.6.1 和差关系： 大数 - 小数 = 差， 大数 - 差 = 小数， 小数 + 差 = 大数。
- 3.6.2 倍数关系： 大数 ÷ 小数 = 倍数， 小数 × 倍数 = 大数， 大数 ÷ 倍数 = 小数。
- 3.6.3 行程问题： 速度 × 时间 = 路程， 路程 ÷ 速度 = 时间， 路程 ÷ 时间 = 速度。
- 3.6.4 工作问题： 工作效率 × 工作时间 = 工作总量， 工作总量 ÷ 工作效率 = 工作时间， 工作总量 ÷ 工作时间 = 工作效率。
- 3.6.5 总价、单价、数量关系： 单价 × 数量 = 总价， 总价 ÷ 单价 = 数量， 总价 ÷ 数量 = 单价。
四、多边形的面积
4.1 平行四边形的面积
- 4.1.1 公式： S = ah （底 × 高）
- 4.1.2 推导： 通过剪拼，将平行四边形转化成长方形。
4.2 三角形的面积
- 4.2.1 公式： S = ½ah （底 × 高 ÷ 2）
- 4.2.2 推导： 两个完全相同的三角形可以拼成一个平行四边形。
4.3 梯形的面积
- 4.3.1 公式： S = ½(a + b)h （（上底 + 下底）× 高 ÷ 2）
- 4.3.2 推导： 两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形。
4.4 组合图形的面积
- 4.4.1 分割法： 将组合图形分割成几个基本图形，分别求出面积，再相加。
- 4.4.2 添补法： 将组合图形添补成一个基本图形，求出大图形的面积，再减去添补部分的面积。
4.5 不规则图形的面积
- 4.5.1 数方格法： 将不规则图形放在方格纸上，数出方格的个数，估算面积。
五、可能性
5.1 可能性的大小
- 5.1.1 可能性： 事件发生的概率。
- 5.1.2 可能性的大小与数量有关： 数量越多，可能性越大；数量越少，可能性越小。
- 5.1.3 公平性： 每个事件发生的可能性相等，游戏才公平。
5.2 简单事件发生的可能性
- 5.2.1 计算可能性： 可能性 = 发生事件的数量 ÷ 总数量