《五年级上册数学北师大版全册书的思维导图》

一、 小数除法

1.1 除数是整数的小数除法

• 核心概念： 将小数除法转化为整数除法，商的小数点与被除数的小数点对齐。
• 计算方法： 竖式计算，注意余数处理。
• 重点：
  • 被除数不够除时，用0占位。
  • 余数不够除时，添0继续除。
• 应用： 解决实际问题，如平均分，单价计算等。
• 易错点： 小数点对齐问题，余数处理问题。

1.2 除数是小数的小数除法

• 核心概念： 根据商不变的性质，将除数转化为整数。
• 计算方法：
  • 移动除数的小数点，使之变成整数。
  • 同时移动被除数的小数点，移动的位数与除数相同。
  • 按除数是整数的小数除法计算。
• 重点： 小数点移动的位数必须相同。
• 应用： 解决实际问题，如单位换算，比例计算等。
• 易错点： 移动小数点位数不一致，移动后位数不够补0。

1.3 商的近似数

• 核心概念： 根据需要，用“四舍五入”法求商的近似数。
• 计算方法： 除到比需要保留的位数多一位，然后进行四舍五入。
• 重点： 明确保留几位小数。
• 应用： 解决实际问题，如精确计算，估算等。
• 易错点： 忘记除到比需要保留的位数多一位。

1.4 循环小数

• 核心概念： 一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现。
• 定义： 循环节、循环小数。
• 表示方法： 在循环节的首末位数字上点点，或者在循环节上方画横线。
• 无限小数： 包括循环小数和无限不循环小数。
• 应用： 循环小数的简单应用。
• 易错点： 区分循环节，正确表示循环小数。

1.5 用计算器探索规律

• 核心概念： 利用计算器进行快速计算，发现数字之间的规律。
• 应用： 探索数字规律，解决问题。
• 重点： 观察、分析、归纳能力。
• 易错点： 盲目计算，缺乏思考。

二、轴对称和平移

2.1 轴对称图形

• 核心概念： 沿一条直线对折，两边完全重合的图形。
• 定义： 对称轴。
• 特点：
  • 对应点到对称轴的距离相等。
  • 对应点的连线垂直于对称轴。
• 常见轴对称图形： 正方形、长方形、圆、等腰三角形、等边三角形、线段等。
• 应用： 识别、绘制轴对称图形。
• 易错点： 区分轴对称图形与中心对称图形。

2.2 图形的平移

• 核心概念： 图形沿直线移动，方向和距离不变。
• 特点：
  • 图形的形状和大小不变。
  • 对应点之间的连线平行且相等。
• 平移的三要素： 平移方向、平移距离、平移对象。
• 应用： 描述、绘制平移后的图形。
• 易错点： 区分平移方向和距离。

2.3 综合应用

• 轴对称与平移的结合： 利用轴对称和平移进行图形的变换。
• 应用： 设计图案，解决实际问题。

三、倍数与因数

3.1 倍数和因数

• 核心概念： 在整数乘法中，如果a×b=c，那么a和b是c的因数，c是a和b的倍数。
• 定义： 因数和倍数是相互依存的。
• 特点：
  • 一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。
  • 一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
• 应用： 找一个数的因数和倍数。
• 易错点： 区分因数和倍数，避免单独说一个数是因数或倍数。

3.2 2、5、3的倍数的特征

• 2的倍数： 个位是0、2、4、6、8的数。
• 5的倍数： 个位是0或5的数。
• 3的倍数： 各个数位上的数字之和是3的倍数。
• 应用： 快速判断一个数是否是2、5、3的倍数。
• 易错点： 混淆三个数的倍数特征。

3.3 质数和合数

• 核心概念： 一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数（或素数）。一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这个数叫做合数。
• 特殊数字： 1既不是质数，也不是合数。
• 最小的质数： 2。
• 判断方法： 根据因数的个数判断。
• 应用： 区分质数和合数。
• 易错点： 忘记1既不是质数也不是合数。

3.4 分解质因数

• 核心概念： 把一个合数写成几个质数相乘的形式。
• 方法： 短除法。
• 应用： 求最大公因数和最小公倍数。
• 易错点： 忘记除到商是质数为止。

3.5 最大公因数

• 核心概念： 几个数公有的因数，叫做它们的公因数；其中最大的一个，叫做它们的最大公因数。
• 方法：
  • 列举法。
  • 分解质因数法。
  • 短除法。
• 互质数： 公因数只有1的两个数。
• 应用： 解决实际问题，如分东西。

3.6 最小公倍数

• 核心概念： 几个数公有的倍数，叫做它们的公倍数；其中最小的一个，叫做它们的最小公倍数。
• 方法：
  • 列举法。
  • 分解质因数法。
  • 短除法。
• 特殊情况： 如果两个数是互质数，它们的最小公倍数是它们的乘积。
• 应用： 解决实际问题，如相遇问题。

四、多边形的面积

4.1 平行四边形的面积

• 核心概念： 平行四边形的面积等于底乘以高。
• 公式： S = ah
• 推导过程： 将平行四边形转化为长方形。
• 应用： 计算平行四边形的面积。
• 易错点： 区分底和高，必须是对应的底和高。

4.2 三角形的面积

• 核心概念： 三角形的面积等于底乘以高除以2。
• 公式： S = (ah)/2
• 推导过程： 将两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形。
• 应用： 计算三角形的面积。
• 易错点： 忘记除以2。

4.3 梯形的面积

• 核心概念： 梯形的面积等于上底加下底的和乘以高除以2。
• 公式： S = ((a+b)h)/2
• 推导过程： 将两个完全相同的梯形拼成一个平行四边形。
• 应用： 计算梯形的面积。
• 易错点： 区分上底和下底，忘记除以2。

4.4 组合图形的面积

• 核心概念： 将组合图形分解成已学过的基本图形。
• 方法： 分割法，添补法。
• 应用： 计算组合图形的面积。
• 易错点： 分割或添补后，正确计算各部分面积。

五、分数的意义

5.1 分数的产生

• 核心概念： 为了表示不够一个单位的数，产生了分数。

5.2 分数的意义

• 核心概念： 把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数。
• 分数单位： 把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数。
• 真分数： 分子小于分母的分数。
• 假分数： 分子大于或等于分母的分数。
• 带分数： 整数和一个真分数合成的数。
• 假分数化为整数或带分数： 用分子除以分母。
• 带分数化为假分数： 用整数部分乘以分母，加上分子，作分子，分母不变。
• 应用： 理解分数的意义，进行分数之间的转化。
• 易错点： 区分真分数和假分数。

5.3 分数与除法的关系

• 核心概念： 分数与除法有着密切的联系。被除数相当于分数的分子，除数相当于分母。
• 公式： a ÷ b = a/b (b≠0)
• 应用： 用分数表示除法算式的商。

六、可能性

6.1 可能性的大小

• 核心概念： 可能性的大小与事件发生的概率有关。
• 可能性： 指事件发生的可能性的大小。
• 概率： 描述事件发生的可能性大小的数值。
• 判断方法： 根据事件发生的条件判断可能性的大小。
• 应用： 解决实际问题，如预测天气，游戏规则设计等。
• 易错点： 认为可能性大的事件一定会发生。

6.2 公平游戏

• 核心概念： 游戏规则对双方公平，即双方获胜的可能性相等。
• 判断方法： 分析游戏规则，看双方获胜的可能性是否相等。
• 应用： 设计公平的游戏规则。
• 易错点： 设计不公平的游戏规则。