《四年级上册乘除法的思维导图》

中心主题：四年级上册乘除法

一、乘法

1. 概念与意义

• 定义： 求几个相同加数的和的简便运算。
• 组成部分： 乘数 × 乘数 = 积
• 意义延伸：
  • 表示求几个相同加数的和。例如：3 × 5 表示 5 个 3 相加，即 3+3+3+3+3。
  • 表示一个数的几倍。例如：3 × 5 表示 3 的 5 倍是多少。
  • 计算面积/体积：例如，长方形面积=长×宽，正方体体积=棱长×棱长×棱长。
• 与加法的关系： 乘法是加法的简便运算，相同加数的加法可以用乘法表示。

2. 口算乘法

• 两位数乘一位数（进位/不进位）：
  • 拆分法：将两位数拆成整十数和个位数，分别与一位数相乘，再相加。例如：23×4 = (20×4) + (3×4) = 80 + 12 = 92
  • 注意进位问题：尤其要注意个位乘积超过10的情况。
• 整十、整百数乘一位数：
  • 将整十、整百数看成几个十、几个百，再乘以一位数。 例如：300×2 = 3个百×2 = 6个百 = 600
  • 简便方法：先将0前面的数字相乘，再在积的末尾添上相应个数的0。
• 估算：
  • 将乘数估算成整十、整百数，方便计算。
  • 估算时，注意结果是“大约”多少。 例如：198×3 ≈ 200×3 = 600 (大约600)

3. 笔算乘法

• 三位数乘两位数：
  • 竖式书写规范：数位对齐，从个位开始乘起。
  • 计算步骤：
    1. 用两位数的个位去乘三位数，所得的积的末位与两位数的个位对齐。
    2. 用两位数的十位去乘三位数，所得的积的末位与两位数的十位对齐。
    3. 将两次乘得的积相加。
  • 注意进位：每次乘完后，注意进位到上一位。
  • 0 的处理：
    • 中间有0：用一个数乘中间有0的三位数，要注意用这个数依次去乘三位数每一位数，即使十位上是0也要乘。
    • 末尾有0：末尾有0的乘法，可以先把0前面的数相乘，然后看两个因数的末尾一共有几个0，就在积的末尾添上几个0。
• 乘法验算：
  • 交换两个乘数的位置，再计算一次，看结果是否相同。
  • 用计算器验算。

4. 乘法运算律

• 乘法交换律： a × b = b × a
  • 意义：交换两个因数的位置，积不变。
  • 应用：简化计算。 例如：25×37×4 = 25×4×37 = 100×37 = 3700
• 乘法结合律： (a × b) × c = a × (b × c)
  • 意义：三个数相乘，可以先把前两个数相乘，再乘第三个数；也可以先把后两个数相乘，再乘第一个数，积不变。
  • 应用：简化计算。 例如：8×(125×23) = (8×125)×23 = 1000×23 = 23000
• 乘法分配律： (a + b) × c = a × c + b × c 或 a × (b + c) = a × b + a × c
  • 意义：两个数的和与一个数相乘，可以先把这两个数分别与这个数相乘，再把所得的积相加，结果不变。
  • 应用：
    • 正向应用：简化计算。 例如：(40 + 4)×25 = 40×25 + 4×25 = 1000 + 100 = 1100
    • 逆向应用：提取公因数。 例如：32×102 = 32×(100 + 2) = 32×100 + 32×2 = 3200 + 64 = 3264

5. 解决问题

• 常见的数量关系：
  • 单价 × 数量 = 总价
  • 速度 × 时间 = 路程
  • 工作效率 × 工作时间 = 工作总量
• 策略：
  • 认真审题，理解题意，分析数量关系。
  • 确定先算什么，再算什么。
  • 列出综合算式，并进行计算。
  • 检查计算结果，写出答语。

二、除法

1. 概念与意义

• 定义： 已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
• 组成部分： 被除数 ÷ 除数 = 商
• 意义延伸：
  • 平均分：将一个数平均分成若干份，求每份是多少。
  • 包含除：求一个数里包含几个另一个数。
• 与乘法的关系： 除法是乘法的逆运算。

2. 口算除法

• 整十、整百数除以一位数：
  • 将整十、整百数看成几个十、几个百，再除以一位数。例如：600÷2 = 6个百÷2 = 3个百 = 300
  • 简便方法：先将0前面的数字相除，再在商的末尾添上相应个数的0。
• 估算：
  • 将被除数估算成与除数相关的整十、整百数，方便计算。
  • 估算时，注意结果是“大约”多少。 例如：183÷6 ≈ 180÷6 = 30 (大约30)

3. 笔算除法

• 三位数除以两位数：
  • 竖式书写规范：数位对齐。
  • 计算步骤：
    1. 先看被除数的前两位，如果前两位比除数小，就看前三位。
    2. 试商：用除数去除被除数的前几位，看商是几，商要写在被除数的相应数位的上面。
    3. 计算：用商和除数相乘，把所得的积写在被除数的下面，用被除数减去积。
    4. 余数：每次除得的余数必须比除数小。
    5. 除到哪一位，就把商写在那一位的上面。
  • 商的确定：
    • 利用乘法口诀快速确定商。
    • 通过估算来确定商。
  • 余数问题：
    • 余数一定要小于除数。
    • 带余数的除法：被除数 = 商 × 除数 + 余数
• 商不变的规律：
  • 被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。
  • 应用：简化计算。 例如：400÷25 = (400×4) ÷ (25×4) = 1600 ÷ 100 = 16

4. 解决问题

• 常见的数量关系：
  • 总价 ÷ 数量 = 单价
  • 路程 ÷ 时间 = 速度
  • 工作总量 ÷ 工作时间 = 工作效率
• 策略：
  • 认真审题，理解题意，分析数量关系。
  • 确定先算什么，再算什么。
  • 列出综合算式，并进行计算。
  • 检查计算结果，写出答语。
• 包含有余数的问题：
  • 根据实际情况进行“进一法”或“去尾法”处理余数。 例如：租船问题、装箱问题等。

5. 易错点

• 乘法：
  • 进位问题：忘记进位或者进位错误。
  • 0 的处理：中间或末尾有 0 的乘法，忘记补 0。
• 除法：
  • 商的位置：商的位置写错，导致计算错误。
  • 余数大小：忘记余数必须小于除数。
  • 试商：试商不准确，需要多次调整。

这个思维导图包含了四年级上册乘除法的主要知识点，希望对学习有所帮助。

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