《三角函数思维导图初三》
一、三角函数的定义
1.1 角的概念扩展
- 1.1.1 正角、负角、零角:
- 正角: 逆时针旋转
- 负角: 顺时针旋转
- 零角: 不旋转
- 1.1.2 象限角: 角的终边所在象限
- 1.1.3 终边相同的角: 形式化表达：α + k * 360° (k ∈ Z)
1.2 任意角的三角函数
* **1.2.1 定义:**
* 单位圆上的点P(x,y)，设OP与x轴正半轴的夹角为α
* 正弦（sin α）= y
* 余弦（cos α）= x
* 正切（tan α）= y/x (x≠0)
* 余切（cot α）= x/y (y≠0)
* **1.2.2 各象限符号:**
* 一全正: sin, cos, tan, cot 均为正
* 二正弦: 只有 sin 为正
* 三正切: 只有 tan 和 cot 为正
* 四余弦: 只有 cos 为正
* **1.2.3 特殊角的三角函数值:**
* 0°, 30°, 45°, 60°, 90°的sin, cos, tan, cot值表格（重点记忆）
* 例如： sin30° = 1/2, cos45° = √2/2, tan60° = √3
1.3 同角三角函数关系
* **1.3.1 平方关系:**
* sin²α + cos²α = 1
* **1.3.2 商数关系:**
* tan α = sin α / cos α (cos α ≠ 0)
* cot α = cos α / sin α (sin α ≠ 0)
* **1.3.3 倒数关系:**
* tan α * cot α = 1
二、三角函数的图像与性质（初三阶段简化）
2.1 正弦函数 (y = sin x) (0° ≤ x ≤ 90°)
- 2.1.1 图像: 在直角坐标系中描点画出的曲线 (了解第一象限内的图像变化趋势)
- 2.1.2 性质:
- 值域：[0, 1]
- 增减性：在[0°, 90°]上是增函数
2.2 余弦函数 (y = cos x) (0° ≤ x ≤ 90°)
- 2.2.1 图像: 在直角坐标系中描点画出的曲线 (了解第一象限内的图像变化趋势)
- 2.2.2 性质:
- 值域：[0, 1]
- 增减性：在[0°, 90°]上是减函数
2.3 正切函数 (y = tan x) (0° ≤ x < 90°)
- 2.3.1 图像: 在直角坐标系中描点画出的曲线 (了解第一象限内的图像变化趋势)
- 2.3.2 性质:
- 值域：[0, +∞)
- 增减性：在[0°, 90°)上是增函数
三、解直角三角形
3.1 直角三角形的边角关系
* **3.1.1 两锐角关系:** ∠A + ∠B = 90°
* **3.1.2 三边关系（勾股定理）:** a² + b² = c² (c为斜边)
* **3.1.3 边角关系:**
* sin A = a/c
* cos A = b/c
* tan A = a/b
* cot A = b/a
* sin B = b/c
* cos B = a/c
* tan B = b/a
* cot B = a/b
3.2 解直角三角形的类型
* **3.2.1 已知两边:** 利用勾股定理求第三边，再利用三角函数求角度。
* **3.2.2 已知一边一角:** 利用三角函数关系求另一边，再利用勾股定理或三角函数求剩余边和角。
3.3 应用举例
* **3.3.1 仰角、俯角:** 视线与水平线的夹角，视线在水平线上方为仰角，下方为俯角。
* **3.3.2 方位角:** 指北或指南方向线与目标方向线所成的水平角。
* **3.3.3 坡度、坡角:** 坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度，坡面与水平面的夹角称为坡角。
* **3.3.4 实际问题:** 测量高度、距离、角度等。 结合实际情境，建立直角三角形模型，利用解直角三角形的知识解决问题。 关键是找到直角三角形，并将实际问题转化为数学问题。需要熟练掌握三角函数关系，并灵活运用勾股定理。需要注意单位统一和计算准确性。
四、解题技巧与注意事项
4.1 灵活运用三角函数关系
- 根据已知条件选择合适的三角函数关系式。
- 注意三角函数值的符号，特别是在涉及角度范围讨论的问题中。
- 熟练掌握特殊角的三角函数值，可以简化计算。
4.2 转化思想
4.3 数形结合
4.4 注意事项
- 题目中如有特殊条件，例如：等腰三角形、平行四边形等，应充分利用这些条件。
- 答案要写完整，包括单位和必要的文字说明。
- 审题要仔细，避免看错题目条件。
- 检查计算结果，确保准确无误。
五、常见题型举例
5.1 求三角函数值
- 给定角的度数，求其正弦、余弦、正切值。
- 给定三角形的边长，求其角的正弦、余弦、正切值。
- 利用同角三角函数关系，已知一个三角函数值求其他三角函数值。
5.2 解直角三角形
- 已知两边，求第三边和两锐角。
- 已知一边一锐角，求其他边和另一锐角。
- 解决与仰角、俯角、方位角、坡度等相关的实际问题。
5.3 综合应用
- 将解直角三角形与其他知识点结合，例如：相似三角形、勾股定理等。
- 涉及多个直角三角形的复杂问题，需要仔细分析，逐步求解。
