式与方程的思维导图
《式与方程的思维导图》
一、式的定义及分类
1.1 式的定义
- 概念： 用运算符号把数或表示数的字母连接而成的表达式。
1.2 式的分类
- 1. 代数式：
- 定义： 由数、表示数的字母和运算符号组成的式子。
- 细分：
- 整式：
- 单项式： 数字与字母的乘积（或字母与字母的乘积）。单个的数或字母也算单项式。
- 系数： 单项式中的数字因数。
- 次数： 单项式中所有字母的指数之和。
- 多项式： 几个单项式的和。
- 项： 多项式中的每个单项式。
- 常数项： 不含字母的项。
- 次数： 多项式中次数最高的项的次数。
- 分式： 含有分母，且分母中含有字母的式子。
- 分子： 分式中除号上面的部分。
- 分母： 分式中除号下面的部分。
- 基本性质： 分式的分子分母同乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变。
- 根式： 含有开方运算的式子。
- 被开方数： 根号下的式子。
- 根指数： 根号左上角的数字，省略时表示二次方根。
- 2. 其他式：
- 不属于代数式的式子，例如：包含非代数运算符号的式子，三角函数式等。
二、式的运算
2.1 整式运算
- 1. 合并同类项：
- 定义： 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。
- 法则： 系数相加减，字母和字母的指数不变。
- 2. 幂的运算：
- 同底数幂的乘法：
a^m * a^n = a^(m+n)
- 幂的乘方：
(a^m)^n = a^(m*n)
- 积的乘方：
(ab)^n = a^n * b^n
- 同底数幂的除法：
a^m / a^n = a^(m-n) (a≠0)
- 零指数幂：
a^0 = 1 (a≠0)
- 负整数指数幂：
a^(-n) = 1/a^n (a≠0)
- 3. 乘法公式：
- 平方差公式：
(a+b)(a-b) = a^2 - b^2
- 完全平方公式：
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 ; (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
- 4. 多项式乘法： 运用分配律展开。
2.2 分式运算
- 1. 分式的约分： 分子分母同时除以公因式。
- 2. 分式的通分： 找出各分母的最简公分母，并将各分式化为同分母分式。
- 3. 分式的加减法：
- 同分母分式加减： 分子加减，分母不变。
- 异分母分式加减： 先通分，再加减。
- 4. 分式的乘除法：
- 乘法： 分子乘分子，分母乘分母。
- 除法： 除以一个分式等于乘以这个分式的倒数。
2.3 根式运算
- 1. 根式的化简： 将被开方数化为最简形式。
- 2. 同类二次根式： 化简后，被开方数相同的二次根式。
- 3. 根式的加减法： 先化简为同类二次根式，再合并同类二次根式。
- 4. 根式的乘除法： 运用公式
√(a)*√(b) = √(ab) 和√(a)/√(b) = √(a/b) (a≥0, b>0)。
- 5. 有理化： 分母中含有根式时，进行分母有理化处理。
三、方程的定义及分类
3.1 方程的定义
3.2 方程的分类
- 1. 按未知数的个数分：
- 2. 按未知数的次数分：
- 3. 特殊方程：
- 分式方程：分母中含有未知数的方程。
- 无理方程：根号下含有未知数的方程。
四、方程的解法
4.1 一元一次方程
4.2 二元一次方程组
- 解法：
- 代入消元法： 将一个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，代入另一个方程，消去一个未知数。
- 加减消元法： 通过加或减，消去一个未知数。
4.3 一元二次方程
- 解法：
- 直接开平方法： 适用于形如(x+a)^2 = b (b≥0)的方程。
- 配方法： 将方程配成(x+a)^2 = b (b≥0)的形式。
- 公式法： x = (-b ± √(b^2-4ac)) / (2a) (其中Δ = b^2 - 4ac 为判别式)
- 因式分解法： 将方程分解成(x-a)(x-b) = 0的形式，则x=a或x=b。
4.4 分式方程
- 解法步骤：
- 去分母 (方程两边同乘以最简公分母)
- 解整式方程
- 验根 (将解代入最简公分母，看是否为0，若为0则是增根)
4.5 无理方程
- 解法： 将方程两边平方(或多次平方)，化为有理方程，然后求解，最后验根。
五、方程的应用
5.1 列方程解应用题
- 步骤：
- 审题 (理解题意，找出已知条件和未知数)
- 设未知数 (一般直接设所求的量为未知数)
- 列方程 (根据等量关系列出方程)
- 解方程
- 检验 (检验解的合理性，是否符合实际意义)
- 答题 (写出完整的答案)
5.2 常见应用题类型
- 行程问题
- 工程问题
- 利润问题
- 增长率问题
- 浓度问题
- 数字问题
- 几何问题
