《一元一次方程树状思维导图》

mermaid graph TD A[一元一次方程] --> B(定义); A --> C(基本性质); A --> D(解法); A --> E(应用);

B --> B1[只含有一个未知数];
B --> B2[未知数的次数是1];
B --> B3[方程两边都是整式];
B --> B4[标准形式：ax + b = 0 (a≠0)];

C --> C1[等式性质1：两边同时加/减同一个数/式，方程仍然成立];
C --> C2[等式性质2：两边同时乘/除以同一个非零的数，方程仍然成立];

D --> D1[化简方程];
D --> D2[移项];
D --> D3[合并同类项];
D --> D4[系数化为1];
D --> D5[检验];

D1 --> D11[去括号];
D1 --> D12[去分母];

D11 --> D111[括号前是“+”，去掉括号，括号里的各项不变号];
D11 --> D112[括号前是“-”，去掉括号，括号里的各项都要变号];
D11 --> D113[注意括号前的系数];

D12 --> D121[找各分母的最小公倍数];
D12 --> D122[方程两边都乘以最小公倍数];
D12 --> D123[注意：乘以最小公倍数时，要把方程中每一项都乘];
D12 --> D124[分数线具有括号的作用，注意整体代入];

D2 --> D21[将含有未知数的项移到方程的一边];
D2 --> D22[将常数项移到方程的另一边];
D2 --> D23[移项要变号];

D3 --> D31[将未知数项合并为一项];
D3 --> D32[将常数项合并];

D4 --> D41[方程两边同时除以未知数的系数];
D4 --> D42[确保系数为1];
D4 --> D43[得到解：x = 常数];

D5 --> D51[将求得的解代入原方程];
D5 --> D52[验证方程左右两边是否相等];
D5 --> D53[相等，则解正确；不等，则解错误，重新检查];

E --> E1(实际问题与一元一次方程);
E --> E2(常见题型);
E --> E3(解题步骤);

E1 --> E11[行程问题];
E1 --> E12[工程问题];
E1 --> E13[利润问题];
E1 --> E14[数字问题];
E1 --> E15[分配问题];
E1 --> E16[年龄问题];

E11 --> E111[基本公式：路程 = 速度 × 时间];
E11 --> E112[相遇问题：总路程 = (甲速度 + 乙速度) × 相遇时间];
E11 --> E113[追及问题：总路程 = (快速度 - 慢速度) × 追及时间];
E11 --> E114[环形跑道问题];

E12 --> E121[基本公式：工作总量 = 工作效率 × 工作时间];
E12 --> E122[合作问题：工作总量 = (甲效率 + 乙效率) × 合作时间];
E12 --> E123[部分合作问题];

E13 --> E131[基本公式：利润 = 售价 - 进价];
E13 --> E132[利润率 = (利润 / 进价) × 100%];
E13 --> E133[售价 = 进价 × (1 + 利润率)];
E13 --> E134[打折问题：售价 = 标价 × 折扣/10];

E14 --> E141[十进制表示方法：如两位数AB = 10A + B];
E14 --> E142[注意数字的排列顺序];

E15 --> E151[确定分配的总量];
E15 --> E152[根据分配关系，列方程];

E16 --> E161[抓住年龄差不变的特点];
E16 --> E162[设现在年龄为未知数];

E2 --> E21[和差倍分问题];
E2 --> E22[比例问题];

E3 --> E31[审题：理解题意，找出已知条件和未知条件];
E3 --> E32[设元：选择适当的未知数表示未知量];
E3 --> E33[列方程：根据题中的等量关系，列出方程];
E3 --> E34[解方程：求出方程的解];
E3 --> E35[检验：检验方程的解是否符合实际意义];
E3 --> E36[作答：写出答案，注意单位];

详细解释：

A. 一元一次方程

一元一次方程是数学中一种重要的方程类型。理解它的定义、性质、解法和应用是解决相关问题的关键。

B. 定义

• B1. 只含有一个未知数： 方程中只能有一个未知量，通常用字母 x, y, z 等表示。
• B2. 未知数的次数是1： 未知数的最高次数必须是 1。例如，x² + 1 = 0 不是一元一次方程。
• B3. 方程两边都是整式： 方程的两边必须是整式，不能含有分母且分母中含有未知数。
• B4. 标准形式：ax + b = 0 (a≠0)： 任何一元一次方程都可以化简为这种标准形式，其中 a 和 b 是常数，且 a 不等于 0。 如果a=0,则不是一元一次方程

C. 基本性质

• C1. 等式性质1：两边同时加/减同一个数/式，方程仍然成立： 这是解方程的基础，保证了方程变形的等价性。
• C2. 等式性质2：两边同时乘/除以同一个非零的数，方程仍然成立： 同样是解方程的重要依据，注意除数不能为零。

D. 解法

• D1. 化简方程：

  • D11. 去括号：
    • D111. 括号前是“+”，去掉括号，括号里的各项不变号： 例如，+(x+2) = x+2。
    • D112. 括号前是“−”，去掉括号，括号里的各项都要变号： 例如，-(x+2) = -x-2。
    • D113. 注意括号前的系数： 括号前有系数时，要用分配律将系数乘进括号里的每一项，如2(x+1)=2x+2。
  • D12. 去分母：
    • D121. 找各分母的最小公倍数： 找出方程中所有分母的最小公倍数。
    • D122. 方程两边都乘以最小公倍数： 将方程的两边同时乘以这个最小公倍数。
    • D123. 注意：乘以最小公倍数时，要把方程中每一项都乘： 确保方程中的每一项都乘以最小公倍数，包括没有分母的项。
    • D124. 分数线具有括号的作用，注意整体代入： 分数线相当于括号，例如(x+1)/2，分子(x+1)看成一个整体。

• D2. 移项：

  • D21. 将含有未知数的项移到方程的一边： 通常移到等号的左边。
  • D22. 将常数项移到方程的另一边： 通常移到等号的右边。
  • D23. 移项要变号： 移项时，必须改变项的符号。

• D3. 合并同类项：

  • D31. 将未知数项合并为一项： 将所有含有未知数的项合并成一个项。
  • D32. 将常数项合并： 将所有的常数项合并。

• D4. 系数化为1：

  • D41. 方程两边同时除以未知数的系数： 将方程两边同时除以未知数的系数，使未知数的系数变为 1。
  • D42. 确保系数为1： 确保未知数的系数为 1。
  • D43. 得到解：x = 常数： 求得方程的解。

• D5. 检验：

  • D51. 将求得的解代入原方程： 将求得的解代入到原始方程中进行验证。
  • D52. 验证方程左右两边是否相等： 验证方程的左边和右边是否相等。
  • D53. 相等，则解正确；不等，则解错误，重新检查： 如果方程的左右两边相等，则求得的解是正确的；如果不相等，则求得的解是错误的，需要重新检查计算过程。

E. 应用

• E1. 实际问题与一元一次方程： 将实际问题转化为一元一次方程来解决。

  • E11. 行程问题：

    • E111. 基本公式：路程 = 速度 × 时间： 理解路程、速度和时间之间的关系。
    • E112. 相遇问题：总路程 = (甲速度 + 乙速度) × 相遇时间： 掌握相遇问题的基本模型。
    • E113. 追及问题：总路程 = (快速度 - 慢速度) × 追及时间： 掌握追及问题的基本模型。
    • E114. 环形跑道问题： 追及/相遇 围绕环形跑道

  • E12. 工程问题：

    • E121. 基本公式：工作总量 = 工作效率 × 工作时间： 理解工作总量、工作效率和工作时间之间的关系。
    • E122. 合作问题：工作总量 = (甲效率 + 乙效率) × 合作时间： 掌握合作问题的基本模型。
    • E123. 部分合作问题： 考虑不同时间的合作情况

  • E13. 利润问题：

    • E131. 基本公式：利润 = 售价 − 进价： 理解利润、售价和进价之间的关系。
    • E132. 利润率 = (利润 / 进价) × 100%： 掌握利润率的计算方法。
    • E133. 售价 = 进价 × (1 + 利润率)： 掌握售价的计算方法。
    • E134. 打折问题：售价 = 标价 × 折扣/10： 掌握打折问题的计算方法。

  • E14. 数字问题：

    • E141. 十进制表示方法：如两位数AB = 10A + B： 理解数字的十进制表示方法。
    • E142. 注意数字的排列顺序： 注意数字的排列顺序对数值的影响。

  • E15. 分配问题：

    • E151. 确定分配的总量： 确定需要分配的总量。
    • E152. 根据分配关系，列方程： 根据题目中的分配关系，列出方程。

  • E16. 年龄问题：

    • E161. 抓住年龄差不变的特点： 年龄问题中，年龄差是一个不变的量。
    • E162. 设现在年龄为未知数： 通常设现在的年龄为未知数。

• E2. 常见题型：

  • E21. 和差倍分问题： 根据题目中的和、差、倍数、分数关系列方程。
  • E22. 比例问题： 根据题目中的比例关系列方程。

• E3. 解题步骤：

  • E31. 审题：理解题意，找出已知条件和未知条件： 认真阅读题目，理解题意，找出已知条件和未知条件。
  • E32. 设元：选择适当的未知数表示未知量： 选择合适的未知数来表示未知量，通常选择与问题直接相关的量。
  • E33. 列方程：根据题中的等量关系，列出方程： 根据题目中的等量关系，列出方程。这是解决应用题的关键步骤。
  • E34. 解方程：求出方程的解： 解出列出的方程，求得未知数的值。
  • E35. 检验：检验方程的解是否符合实际意义： 检验求得的解是否符合实际意义，例如，时间不能为负数。
  • E36. 作答：写出答案，注意单位： 写出完整的答案，包括数值和单位。