《第八章 角的思维导图》
1. 角的定义与表示
- 角的定义:
- 一条射线绕其端点旋转形成的图形。
- 两条有公共端点的射线组成的图形。
- 角的要素:
- 顶点：角的公共端点。
- 边：构成角的两条射线。
- 角的表示方法:
- 符号表示: ∠
- 三种方式:
- 用三个大写字母表示：∠AOB (顶点必须写在中间)
- 用一个大写字母表示：∠O (当顶点只有一个角时)
- 用希腊字母或数字表示：∠α, ∠1
- 角的书写注意事项:
- 用三个字母表示时，顶点字母必须在中间。
- 当顶点处只有一个角时，才能用顶点字母表示。
2. 角的度量与单位
- 角的度量:
- 用度、分、秒来度量角的大小。
- 角度单位:
- 度 (°): 将一个圆周分为360等份，每一份就是一个度。
- 分 (′): 1° = 60′
- 秒 (″): 1′ = 60″
- 角度单位换算:
- 度化分：度数 × 60 = 分数
- 分化秒：分数 × 60 = 秒数
- 分化度：分数 ÷ 60 = 度数
- 秒化分：秒数 ÷ 60 = 分数
- 角度的加减运算:
- 度、分、秒分别相加减，满60要进位或借1当60。
3. 角的分类
- 锐角: 大于0°小于90°的角 (0° < ∠α < 90°)
- 直角: 等于90°的角 (∠α = 90°)
- 直角通常用“┓”表示。
- 钝角: 大于90°小于180°的角 (90° < ∠α < 180°)
- 平角: 等于180°的角 (∠α = 180°)
- 一条直线就是一个平角。
- 周角: 等于360°的角 (∠α = 360°)
- 一条射线旋转一周形成周角。
- 关系: 锐角 < 直角 < 钝角 < 平角 < 周角
4. 角的大小比较
- 叠合法: 将两个角的顶点重合，一条边重合，观察另一条边的位置。
- 若∠AOB的另一条边在∠AOC的内部，则∠AOB < ∠AOC。
- 若∠AOB的另一条边在∠AOC的外部，则∠AOB > ∠AOC。
- 若∠AOB的另一条边与∠AOC的另一条边重合，则∠AOB = ∠AOC。
- 度量法: 分别测量两个角的度数，比较大小。
5. 角的和、差、倍、分
- 角的和: 将两个角拼在一起，形成的角的度数是两个角的度数之和。
- 角的差: 从一个角中减去另一个角，剩余的角的度数是两个角的度数之差。
- 角的倍分: 一个角的度数乘以或除以一个数。
- 注意: 角的和、差、倍、分运算都应注意角度单位的进位和借位。
6. 余角和补角
- 互余: 如果两个角的和等于90°，则这两个角互为余角。
- 简称：互余
- 其中一个角是另一个角的余角。
- 同角或等角的余角相等。
- 互补: 如果两个角的和等于180°，则这两个角互为补角。
- 简称：互补
- 其中一个角是另一个角的补角。
- 同角或等角的补角相等。
- 余角、补角的性质:
- ∠A + ∠B = 90° => ∠A 和 ∠B 互余
- ∠A + ∠B = 180° => ∠A 和 ∠B 互补
7. 方位角和方向角
- 方位角: 从正北或正南方向线起，顺时针量到目标方向线的水平角。
- 用“北偏东（西）XX度”或“南偏东（西）XX度”表示。
- 方向角: 指南或指北的方向线与目标方向线所成的锐角。
- 用“正东”、“正南”、“正西”、“正北”或“东北”、“东南”、“西北”、“西南”表示。
- 注意: 方位角和方向角都必须明确以哪个方向为基准。
8. 角平分线
- 角平分线的定义: 从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
- 角平分线的性质: 角的平分线将这个角分成两个相等的角。
- 若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC = ∠BOC = 1/2 ∠AOB。
- 反之，若∠AOC = ∠BOC，则OC是∠AOB的平分线。
- 利用角平分线解决问题: 通常利用角平分线的性质，将一个大角转化为两个相等的较小角，从而简化问题。
9. 垂直
- 垂直的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
- 垂直的表示： a⊥b
- 垂线的性质：
- 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
- 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。（垂线段最短）
- 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
10. 实例应用
- 建筑设计
- 航海导航
- 工程测量
- 机械制造
- 数学问题解决 (例如几何证明)
- 物理学中的力的分解
总结
角的概念是几何学的基础，理解角的定义、表示、度量、分类、比较，掌握余角、补角、角平分线等概念及性质，能够解决实际问题。