椭圆思维导图
《椭圆思维导图》
一、定义与性质
1.1 定义
- 集合定义: 到两个定点 $F_1, F_2$ 的距离之和为常数 $2a$ (大于 $|F_1F_2|$) 的点的轨迹。
- $|PF_1| + |PF_2| = 2a$
- $F_1, F_2$ 称为焦点， $|F_1F_2| = 2c$ 称为焦距。
- 第一定义适用条件: $2a > 2c$ (椭圆)， $2a = 2c$ (线段)， $2a < 2c$ (无轨迹)。
- 第二定义: 到一个定点的距离与到一条定直线距离的比是常数 $e$ ($0 < e < 1$) 的点的轨迹。
- $e = \frac{c}{a}$ (离心率)
- 定点：焦点
- 定直线：准线
- $\frac{|PF|}{|Pl|} = e$
1.2 标准方程
- 焦点在 x 轴上: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ $(a > b > 0)$
- 焦点坐标：$F_1(-c, 0), F_2(c, 0)$
- 长轴长：$2a$
- 短轴长：$2b$
- $a^2 = b^2 + c^2$
- 焦点在 y 轴上: $\frac{y^2}{a^2} + \frac{x^2}{b^2} = 1$ $(a > b > 0)$
- 焦点坐标：$F_1(0, -c), F_2(0, c)$
- 长轴长：$2a$
- 短轴长：$2b$
- $a^2 = b^2 + c^2$
- 注意: 判断焦点位置的关键在于确定分母大小，分母大的对应轴即为焦点所在轴。
1.3 几何性质
- 范围: $|x| \leq a$, $|y| \leq b$
- 对称性: 关于 x 轴，y 轴，原点对称。
- 顶点: $(a, 0), (-a, 0), (0, b), (0, -b)$
- 离心率: $e = \frac{c}{a}$， $0 < e < 1$
- $e$ 越接近 0，椭圆越接近圆。
- $e$ 越接近 1，椭圆越扁。
- 准线方程:
- 焦点在 x 轴上：$x = \pm \frac{a^2}{c}$
- 焦点在 y 轴上：$y = \pm \frac{a^2}{c}$
- 焦半径公式:
- 焦点在 x 轴上：
- $|PF_1| = a + ex$
- $|PF_2| = a - ex$
- 焦点在 y 轴上：
- $|PF_1| = a + ey$
- $|PF_2| = a - ey$
二、方程与曲线
2.1 一般方程
- $Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$
- 满足条件：
- $A, C$ 同号且 $A \neq C$
- $A, C \neq 0$
- $D^2/A + E^2/C - 4F \neq 0$
- 通过配方法转化为标准方程。
2.2 参数方程
- $\begin{cases} x = a\cos\theta \ y = b\sin\theta \end{cases}$ $(0 \leq \theta < 2\pi)$
- 参数 $\theta$ 的几何意义：椭圆上的点向上(或向下)投影到圆 $x^2 + y^2 = a^2$ 上，得到的圆心角。
- 应用：简化与角度有关的计算。
2.3 弦长公式
- 直线 $y = kx + m$ 与椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 相交于 $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$
- 弦长 $|AB| = \sqrt{1+k^2} |x_1 - x_2| = \sqrt{1 + \frac{1}{k^2}} |y_1 - y_2|$
- 利用韦达定理计算 $|x_1 - x_2|$ 或 $|y_1 - y_2|$。
- 将直线方程代入椭圆方程，得到关于 x (或 y) 的一元二次方程。
2.4 椭圆的切线
- 点在椭圆上 $(x_0, y_0)$：$\frac{x_0x}{a^2} + \frac{y_0y}{b^2} = 1$
- 点在椭圆外：设切线 $y=kx+m$,联立椭圆方程求判别式等于0，根据条件解出k,m。
三、性质应用与解题策略
3.1 焦点三角形
- 对于椭圆上的点 $P$，连接焦点 $F_1, F_2$，则三角形 $PF_1F_2$ 称为焦点三角形。
- 面积：$S_{\triangle PF_1F_2} = b^2\tan\frac{\theta}{2}$，其中 $\theta$ 为 $\angle F_1PF_2$。
- 周长：$|PF_1| + |PF_2| + |F_1F_2| = 2a + 2c$
3.2 最值问题
- 距离最值:
- 利用椭圆的定义： $|PF_1| + |PF_2| = 2a$
- 利用焦半径公式： $|PF_1| = a + ex$ 或 $|PF_2| = a - ex$
- 转化为直线上的点到定点的距离最值。
- 面积最值:
- 考虑底边固定时，高最大。
- 利用参数方程，转化为三角函数的最值问题。
- 其他: 利用基本不等式，函数性质等。
3.3 对称问题
- 关于点对称:
- 关于直线对称:
- 中点在对称轴上。
- 直线与对称轴垂直。
- 利用点到直线的对称点的坐标公式。
3.4 解题策略
- 定义法: 灵活运用椭圆的第一定义和第二定义。
- 方程法: 建立椭圆的方程，转化为代数问题。
- 几何法: 利用椭圆的几何性质，简化计算。
- 数形结合: 将椭圆的几何性质与代数方程相结合。
- 转化思想: 将问题转化为熟悉的问题进行解决。
四、 拓展
- 双曲线: 与椭圆的定义类似，但距离之差为常数。
- 抛物线: 到一个定点的距离等于到一条定直线距离的点的轨迹。
- 圆锥曲线的统一方程: $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$
- $B^2 - 4AC < 0$ (椭圆或圆)
- $B^2 - 4AC = 0$ (抛物线)
- $B^2 - 4AC > 0$ (双曲线)
