椭圆思维导图高中
《椭圆思维导图高中》
一、椭圆的定义与标准方程
1. 定义
- 几何定义： 到两个定点 $F_1, F_2$ 的距离之和为常数（大于 $F_1F_2$）的点的轨迹。
- 定点： 焦点 $F_1, F_2$
- 定长： 长轴长 $2a$，$2a > |F_1F_2|$
2. 标准方程
- 焦点在 x 轴： $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ (a > b > 0)
- 中心在原点
- 焦点 $F_1(-c, 0), F_2(c, 0)$
- $a^2 = b^2 + c^2$
- 焦点在 y 轴： $\frac{y^2}{a^2} + \frac{x^2}{b^2} = 1$ (a > b > 0)
- 中心在原点
- 焦点 $F_1(0, -c), F_2(0, c)$
- $a^2 = b^2 + c^2$
3. 一般方程（了解）
- $Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ (A, C 同号且不相等)
- 通过配方化为标准方程。
二、椭圆的几何性质
1. 范围
- 焦点在 x 轴： $-a \le x \le a, -b \le y \le b$
- 焦点在 y 轴： $-b \le x \le b, -a \le y \le a$
2. 对称性
3. 顶点
- 焦点在 x 轴： $(\pm a, 0), (0, \pm b)$
- 焦点在 y 轴： $(0, \pm a), (\pm b, 0)$
- 长轴长： $2a$
- 短轴长： $2b$
4. 离心率
- $e = \frac{c}{a}$
- $0 < e < 1$
- $e$ 越接近 0，椭圆越接近圆
- $e$ 越接近 1，椭圆越扁
5. 焦半径
- $|PF_1| = a + ex$ (焦点在 x 轴，P 在椭圆上，F1 在 x 轴负半轴)
- $|PF_2| = a - ex$ (焦点在 x 轴，P 在椭圆上，F2 在 x 轴正半轴)
- $|PF_1| = a + ey$ (焦点在 y 轴，P 在椭圆上，F1 在 y 轴负半轴)
- $|PF_2| = a - ey$ (焦点在 y 轴，P 在椭圆上，F2 在 y 轴正半轴)
6. 准线方程
- 焦点在 x 轴： $x = \pm \frac{a^2}{c} = \pm \frac{a}{e}$
- 焦点在 y 轴： $y = \pm \frac{a^2}{c} = \pm \frac{a}{e}$
三、直线与椭圆的位置关系
1. 联立方程
- 将直线方程 $y = kx + m$ 代入椭圆方程 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$
- 得到关于 x 的一元二次方程。
2. 判别式
- $\Delta > 0$：直线与椭圆相交，有两个交点。
- $\Delta = 0$：直线与椭圆相切，有一个交点。
- $\Delta < 0$：直线与椭圆相离，没有交点。
3. 弦长公式
- 若直线 $y = kx + m$ 与椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 相交于 $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$ 两点，则弦长
$|AB| = \sqrt{1 + k^2} |x_1 - x_2| = \sqrt{1 + \frac{1}{k^2}} |y_1 - y_2|$
4. 中点弦问题
- 设中点为 $(x_0, y_0)$，利用“点差法”：
- 设 $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$ 在椭圆上。
- $\frac{x_1^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2} = 1$
- $\frac{x_2^2}{a^2} + \frac{y_2^2}{b^2} = 1$
- 两式相减，得到 $\frac{(x_1 + x_2)(x_1 - x_2)}{a^2} + \frac{(y_1 + y_2)(y_1 - y_2)}{b^2} = 0$
- 代入 $x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2}, y_0 = \frac{y_1 + y_2}{2}, k = \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2}$，求出斜率 k。
5. 切线问题
- 求已知点切线方程：
- 点在椭圆上：用点差法。
- 点不在椭圆上：设切线方程，联立椭圆方程，令 $\Delta = 0$。
- 求已知斜率切线方程： 设切线方程 $y = kx + m$，联立椭圆方程，令 $\Delta = 0$，求出 m。
四、椭圆的参数方程
1. 方程
- $\begin{cases} x = a \cos \theta \ y = b \sin \theta \end{cases}$ ( $\theta$ 为参数 )
- 中心在原点，焦点在 x 轴的椭圆。
2. 应用
- 求与角有关的问题，例如：面积，弦长等。
- 参数 $\theta$ 不是点在椭圆上的极角，而是对应的圆 $x^2+y^2=a^2$ 上的点的极角.
五、常见题型与解题技巧
1. 求椭圆的标准方程
- 定义法： 根据椭圆的定义列方程。
- 待定系数法： 设椭圆方程，根据已知条件确定 a, b 的值。
- 先确定焦点的位置 (x 轴或 y 轴)。
- 确定 a, b, c 的值或关系。
2. 椭圆的几何性质的应用
- 灵活运用 a, b, c, e 的关系。
- 注意隐含条件 (例如：a > b > 0)。
- 结合图形进行分析。
- 焦半径公式的运用。
3. 直线与椭圆的位置关系
- 联立方程，利用判别式。
- 弦长公式的灵活运用。
- 点差法解决中点弦问题。
- 切线问题的处理。
4. 最大值、最小值问题
- 转化为函数问题，利用函数性质求解。
- 利用不等式求解。
- 几何意义的应用。
5. 与向量结合的问题
- 利用向量的线性运算和数量积。
- 利用向量的坐标表示。
六、总结
- 熟练掌握椭圆的定义和标准方程。
- 理解椭圆的几何性质。
- 掌握直线与椭圆的位置关系的处理方法。
- 灵活运用各种解题技巧，提高解题效率。
- 注意数形结合，提高解题能力。
