《数列思维导图简洁》

一、数列总览

1.1 定义

• 定义一: 按照一定顺序排列的一列数。
• 定义二: 可以看作是定义域为正整数集（或它的有限子集）的函数。

1.2 表示方法

• 通项公式: a_n = f(n)
  • 描述数列项与项数n的关系。
  • 并非所有数列都有通项公式。
• 递推公式: a_n+1 = g(a_n) 或 a_n+2 = h(a_n+1, a_n)
  • 描述数列中相邻项的关系。
  • 需要初始值才能确定数列。
• 图像法: 通过坐标系描点表示数列的离散性。
• 列表法: 直接列出数列的若干项。

1.3 数列分类

• 按项数:
  • 有穷数列：项数有限。
  • 无穷数列：项数无限。
• 按增减性:
  • 递增数列：a_n+1 > a_n
  • 递减数列：a_n+1 < a_n
  • 常数列：a_n+1 = a_n
  • 摆动数列：忽大忽小，没有单调性。

二、特殊数列

2.1 等差数列

• 定义: 从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数（公差）。
• 通项公式: a_n = a₁ + (n-1)d
  • a₁：首项
  • d：公差
• 求和公式:
  • S_n = n(a₁ + a_n) / 2
  • S_n = na₁ + n(n-1)d / 2
• 性质:
  • a_n = a_m + (n-m)d
  • 若 m + n = p + q，则 a_m + a_n = a_p + a_q
  • S_n, S_2n-S_n, S_3n-S_2n,... 成等差数列
  • a_n = S_n - S_n-1 (n ≥ 2); a₁ = S₁ (n = 1)
• 判定方法:
  • a_n+1 - a_n = d (常数)
  • 2a_n = a_n-1 + a_n+1

2.2 等比数列

• 定义: 从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数（公比）。
• 通项公式: a_n = a₁ * q^(n-1)
  • a₁：首项
  • q：公比
• 求和公式:
  • 当 q ≠ 1 时， S_n = a₁(1 - qⁿ) / (1 - q) = (a₁ - a_nq) / (1 - q)
  • 当 q = 1 时， S_n = na₁
• 性质:
  • a_n = a_m * q^(n-m)
  • 若 m + n = p + q，则 a_m a_n = a_p a_q
  • S_n, S_2n/S_n, S_3n/S_2n,... 成等比数列
  • a_n = S_n - S_n-1 (n ≥ 2); a₁ = S₁ (n = 1)
• 判定方法:
  • a_n+1 / a_n = q (常数)
  • a_n² = a_n-1 * a_n+1

三、数列求和方法

3.1 公式法

• 等差数列求和公式
• 等比数列求和公式
• 常见公式:
  • 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1) / 2
  • 1² + 2² + 3² + ... + n² = n(n+1)(2n+1) / 6
  • 1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ = [n(n+1) / 2]²

3.2 倒序相加法

• 适用于具有对称性的数列，例如等差数列求和公式的推导。
• 将数列倒序排列，与原数列相加，化简求和。

3.3 错位相减法

• 适用于数列 {a_nb_n} 求和，其中 {a_n} 是等差数列，{b_n} 是等比数列。
• 将数列乘以公比 q，与原数列相减，化简求和。

3.4 裂项相消法

• 适用于数列通项可以拆分成两项之差的形式，例如 1 / [n(n+1)] = 1/n - 1/(n+1)。
• 将通项拆分，相邻项相互抵消，留下首尾几项，化简求和。
• 常见裂项:
  • 1/[n(n+1)] = 1/n - 1/(n+1)
  • 1/[(an+b)(an+a+b)] = (1/a) * [1/(an+b) - 1/(an+a+b)]
  • √(n+1) - √n = 1 / [√(n+1) + √n]

3.5 分组求和法

• 适用于将数列分解成几个等差或等比数列，分别求和，再相加。

四、数列的应用

4.1 函数与方程

• 数列可以看作是特殊的函数，可以将数列问题转化为函数问题解决。
• 数列中的项可以作为方程的根，利用韦达定理等性质求解。

4.2 不等式

• 利用数列的单调性，可以解决数列中的不等式问题。
• 利用数列的极限，可以判断数列的敛散性。

4.3 实际问题

• 数列可以应用于增长率问题、分期付款问题、堆垛问题等实际问题。
• 需要建立数学模型，将实际问题转化为数列问题解决。

五、解题技巧

5.1 观察与归纳

• 通过观察数列的前几项，归纳出数列的通项公式或递推公式。

5.2 转化与化归

• 将复杂数列转化为等差数列或等比数列。
• 将数列问题转化为函数问题、方程问题或不等式问题。

5.3 特殊值法

• 代入特殊值，验证数列的性质或公式。

5.4 整体代换

• 将数列中的某些项作为一个整体进行代换，简化计算。

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