《比例》思维导图

一、 比例的定义与性质

1.1 定义

• 定义： 两个比值相等的式子，表示两个比的关系。
• 形式： a : b = c : d 或者 a/b = c/d
• 项的名称：
  • a, d：外项
  • b, c：内项

1.2 基本性质

• 性质一： 比例的两个外项之积等于两个内项之积。（交叉相乘原则）
  • 如果 a : b = c : d，那么 ad = bc
  • 应用：判断是否成比例、求比例中的未知项
• 性质二： 如果 ad = bc (a,b,c,d都不等于0)，那么 a : b = c : d, a : c = b : d, d : b = c : a 等 (比例的性质可以灵活变换)
  • 注意：a,b,c,d都不等于0的条件

1.3 比例的性质拓展

• 合比定理： 如果 a/b = c/d，那么 (a+b)/b = (c+d)/d
• 分比定理： 如果 a/b = c/d，那么 (a-b)/b = (c-d)/d (a>b, c>d)
• 合分比定理： 如果 a/b = c/d，那么 (a+b)/(a-b) = (c+d)/(c-d) (a>b, c>d)
• 等比定理： 如果 a/b = c/d = e/f = ... = k (b+d+f+... ≠ 0)，那么 (a+c+e+...)/(b+d+f+...) = k

二、 正比例与反比例

2.1 正比例

• 定义： 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
• 关系式： y/x = k (k≠0，k是常数) 或 y = kx
• 特点：
  • 两种量相关联，一个量变化，另一个量也变化。
  • 比值一定（商一定）。
  • 图像是经过原点的一条直线。
• 常见例子：
  • 单价一定，总价和数量
  • 速度一定，路程和时间
  • 圆的周长与直径，面积与半径的平方（非直接正比例）

2.2 反比例

• 定义： 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
• 关系式： xy = k (k≠0，k是常数) 或 y = k/x
• 特点：
  • 两种量相关联，一个量变化，另一个量也变化。
  • 乘积一定（积一定）。
  • 图像是双曲线。
• 常见例子：
  • 总价一定，单价和数量
  • 路程一定，速度和时间
  • 长方形面积一定，长和宽

2.3 区别与联系

• 区别：
  • 正比例：商一定
  • 反比例：积一定
  • 数学表达式不同
  • 图像不同
• 联系：
  • 都是两种相关联的量，一种量变化，另一种量也变化。
  • 都有一个不为0的常数。

三、 比例的应用

3.1 解比例

• 方法： 根据比例的基本性质，将比例式转化为方程，再解方程。
• 步骤：
  1. 将比例式写成分数形式 (a/b = c/d)。
  2. 运用比例的基本性质，交叉相乘 (ad = bc)。
  3. 解一元一次方程。
  4. 验算。

3.2 比例尺

• 定义： 图上距离和实际距离的比。
• 形式：
  • 数值比例尺 (例如 1:100000)
  • 线段比例尺 (图形表示)
• 公式： 比例尺 = 图上距离 / 实际距离
• 应用：
  • 根据图上距离和比例尺求实际距离
  • 根据实际距离和比例尺求图上距离
  • 根据图上距离和实际距离求比例尺
• 比例尺的变换： 数值比例尺和线段比例尺的互换。

3.3 比例的应用题

• 思路：
  • 判断两种量是否成比例（正比例或反比例）
  • 设未知数
  • 根据正/反比例关系列方程
  • 解方程
  • 检验并写答
• 类型：
  • 正比例应用题
  • 反比例应用题
  • 归一问题 (可转化为正比例)
  • 归总问题 (可转化为反比例)
• 解题技巧：
  • 抓住不变的量
  • 明确变量之间的关系
  • 善用方程思想

四、 比与比例的联系与区别

4.1 联系

• 比例由比组成，比例是比的等式。
• 比是比例的基础，比例是比的发展。

4.2 区别

• 意义不同： 比表示两个数相除的关系；比例表示两个比相等的式子。
• 项数不同： 比有前项和后项两项；比例有内项和外项四项。
• 书写形式不同： 比通常写成 a : b 或 a/b；比例写成 a : b = c : d 或 a/b = c/d。
• 性质不同： 比有比的基本性质（比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变）；比例有比例的基本性质（两个外项的积等于两个内项的积）。

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