《比的思维导图图片大全》
一、 比的定义与概念
1.1 比的定义
- 概念: 两个数相除又叫做两个数的比。
- 表达式: a : b (a除以b)
- 读法: a 比 b
- 组成部分:
- 前项: 比号前面的数（a）
- 后项: 比号后面的数（b）
- 比值: 前项除以后项所得的商（a/b）
- 特殊情况:
- 后项不能为0。
- 比值可以用分数、小数或整数表示。
1.2 比与除法、分数的关系
-
对比表格:
特征 比 除法 分数 关系 一种关系 一种运算 一种数 形式 a : b a ÷ b a/b 名称 前项:后项 被除数÷除数 分子/分母 比值 前项/后项 商 分数值
1.3 比的意义
- 表示两个数量的关系: 说明两个数量之间存在倍数或比例关系。
- 体现两个数量的比较结果: 例如，速度比、价格比、数量比等。
- 应用: 用于解决按比例分配问题、求比例尺、判断两个量是否成正比例或反比例。
二、 比的基本性质
2.1 比的基本性质
- 内容: 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。
- 表达式: a : b = (a × c) : (b × c) = (a ÷ c) : (b ÷ c) (c ≠ 0)
- 作用: 用于化简比和求比值。
2.2 化简比
- 定义: 把一个比化成最简单的整数比。
- 步骤:
- 整数比: 求前项和后项的最大公因数，然后用前项和后项分别除以它们的最大公因数。
- 分数比: 先把比的前项和后项通分，然后去掉分母，再按照化简整数比的方法进行化简。
- 小数比: 先把比的前项和后项同时乘以10、100、1000...直到变成整数比，再按照化简整数比的方法进行化简。
- 结果: 化简后的比的前项和后项互质。
2.3 求比值
- 定义: 用比的前项除以后项所得的商。
- 方法: 直接用前项除以后项，得到的结果可以用分数、小数或整数表示。
- 注意: 比值是一个数，比表示的是两个数的关系。
三、 比的应用
3.1 按比例分配
- 定义: 把一个数量按照一定的比例分成若干份。
- 解题步骤:
- 求出总份数：将比例中的各部分加起来。
- 求出每一份是多少：用总量除以总份数。
- 求出各部分是多少：用每一份的数量分别乘以各部分的比例。
- 典型例题: 例如，将总数为100的书籍按照2:3的比例分给两个班级。
3.2 比例尺
- 定义: 图上距离与实际距离的比。
- 公式: 比例尺 = 图上距离 / 实际距离
- 类型:
- 数值比例尺: 用数字表示，例如1:10000。
- 线段比例尺: 用线段表示，标明线段的长度代表实际距离。
- 应用: 用于地图绘制、工程设计等领域。
3.3 比例的应用
- 正比例: 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
- 反比例: 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
四、 比的扩展
4.1 连比
- 定义: 三个或三个以上的数的比，如a : b : c。
- 化简: 将连比中的各项化成整数，并且互质。
- 应用: 可以将连比转化为比例，用于解决复杂的按比例分配问题。
4.2 比例的性质
- 基本性质: 内项之积等于外项之积。 (a : b = c : d => ad = bc)
- 合比性质: 如果 a/b = c/d， 那么 (a+b)/b = (c+d)/d
- 等比性质: 如果 a/b = c/d = e/f = … = k (b+d+f+…≠0)，那么 (a+c+e+…)/(b+d+f+…) = k
五、 总结
- 核心: 理解比的定义、基本性质和应用是解决相关问题的关键。
- 重点: 掌握化简比、求比值、按比例分配等常用方法。
- 难点: 区分正比例和反比例，灵活运用比例解决实际问题。