《关于数的思维导图》

一、数的概念

1.1 自然数 (ℕ)

1.1.1 定义

• 用于计数：1, 2, 3, ...
• 非负整数，不包含0（有时包含，视具体定义而定）

1.1.2 性质

• 可加性：任意两个自然数的和仍是自然数
• 可乘性：任意两个自然数的积仍是自然数
• 顺序性：可以比较大小

1.1.3 应用

• 计数
• 排序
• 索引

1.2 整数 (ℤ)

1.2.1 定义

• 包括正整数、负整数和零：..., -2, -1, 0, 1, 2, ...

1.2.2 性质

• 可加性：任意两个整数的和仍是整数
• 可减性：任意两个整数的差仍是整数
• 可乘性：任意两个整数的积仍是整数

1.2.3 应用

• 表示盈亏
• 表示温度
• 表示高度

1.3 有理数 (ℚ)

1.3.1 定义

• 可以表示为两个整数之比（分数）：p/q，其中p和q是整数，且q≠0
• 包括整数和分数

1.3.2 性质

• 可加性、可减性、可乘性、可除性（除数不为零）
• 可以用有限小数或无限循环小数表示

1.3.3 应用

• 测量
• 比例
• 概率

1.4 无理数

1.4.1 定义

• 不能表示为两个整数之比的数
• 小数部分是无限不循环的

1.4.2 例子

• π (圆周率)
• √2 (根号2)
• e (自然常数)

1.4.3 性质

• 与有理数的运算结果可能是无理数或有理数

1.5 实数 (ℝ)

1.5.1 定义

• 包括有理数和无理数

1.5.2 性质

• 完备性：实数轴上的每一个点都对应一个实数
• 连续性

1.5.3 应用

• 测量
• 物理学
• 工程学

1.6 复数 (ℂ)

1.6.1 定义

• 形如 a + bi 的数，其中 a 和 b 是实数，i 是虚数单位 (i² = -1)
• a 是实部，b 是虚部

1.6.2 性质

• 可加性、可减性、可乘性、可除性（除数不为零）
• 可以表示为极坐标形式

1.6.3 应用

• 电力工程
• 量子力学
• 流体力学

二、数的分类

2.1 按性质

2.1.1 奇数

• 不能被2整除的整数

2.1.2 偶数

• 能被2整除的整数

2.1.3 质数 (素数)

• 只有1和自身两个正因数的自然数（大于1）

2.1.4 合数

• 除了1和自身外，还有其他正因数的自然数（大于1）

2.2 按符号

2.2.1 正数

• 大于零的数

2.2.2 负数

• 小于零的数

2.2.3 零

• 既不是正数也不是负数

三、数的运算

3.1 基本运算

3.1.1 加法

• 求和

3.1.2 减法

• 求差

3.1.3 乘法

• 求积

3.1.4 除法

• 求商

3.1.5 乘方

• 求幂

3.1.6 开方

• 求根

3.2 运算定律

3.2.1 交换律

• a + b = b + a
• a b = b a

3.2.2 结合律

• (a + b) + c = a + (b + c)
• (a b) c = a (b c)

3.2.3 分配律

• a (b + c) = a b + a * c

3.3 运算优先级

3.3.1 括号

• 先算括号内的

3.3.2 乘方/开方

• 其次计算乘方和开方

3.3.3 乘法/除法

• 再次计算乘法和除法

3.3.4 加法/减法

• 最后计算加法和减法

四、数的表示

4.1 进制

4.1.1 十进制

• 0-9，逢十进一

4.1.2 二进制

• 0和1，逢二进一

4.1.3 八进制

• 0-7，逢八进一

4.1.4 十六进制

• 0-9和A-F，逢十六进一

4.2 科学计数法

4.2.1 定义

• 将一个数表示成 a × 10ⁿ 的形式，其中 1 ≤ |a| < 10，n 是整数

4.2.2 应用

• 表示很大的数或很小的数

4.3 数轴

4.3.1 定义

• 一条规定了原点、正方向和单位长度的直线

4.3.2 应用

• 表示实数
• 比较大小

五、数论基础

5.1 整除性

5.1.1 定义

• 如果整数a能被整数b整除，记作 b | a

5.1.2 性质

• 传递性：如果 a | b 且 b | c，那么 a | c

5.2 最大公约数 (GCD)

5.2.1 定义

• 两个或多个整数共有约数中最大的一个

5.2.2 常用算法

• 辗转相除法（欧几里得算法）

5.3 最小公倍数 (LCM)

5.3.1 定义

• 两个或多个整数共有倍数中最小的一个

5.3.2 计算方法

• LCM(a, b) = (a * b) / GCD(a, b)

5.4 同余

5.4.1 定义

• 如果两个整数a和b除以同一个正整数m，余数相同，则称a和b模m同余，记作 a ≡ b (mod m)

5.4.2 应用

• 密码学
• 计算机科学

六、数的应用

6.1 计算机科学

6.1.1 数据类型

• 整数型 (int)
• 浮点型 (float)
• 布尔型 (bool)

6.1.2 算法

• 排序算法
• 搜索算法
• 图论算法

6.2 物理学

6.2.1 测量

• 长度
• 质量
• 时间

6.2.2 公式

• 牛顿定律
• 能量守恒定律

6.3 金融学

6.3.1 利率

• 年利率
• 月利率

6.3.2 投资

• 股票
• 债券
• 基金

6.4 统计学

6.4.1 概率

• 事件发生的可能性

6.4.2 平均数

• 一组数据的平均值

6.4.3 方差

• 衡量数据离散程度的指标

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