《数学元素思维导图》

一、数与代数

1.1 数

• 1.1.1 自然数 (N)
  • 定义：非负整数 (0, 1, 2, 3...)
  • 性质：有序性，无限性
  • 运算：加法，乘法，减法，除法 (不一定封闭)
  • 应用：计数，排序
• 1.1.2 整数 (Z)
  • 定义：自然数及其相反数 (...-2, -1, 0, 1, 2...)
  • 性质：有序性，无限性
  • 运算：加法，乘法，减法，除法 (不一定封闭)
  • 应用：表示温度，海拔，债务
• 1.1.3 有理数 (Q)
  • 定义：可表示为 p/q (p, q为整数, q≠0) 的数
  • 种类：整数，分数 (有限小数，无限循环小数)
  • 性质：稠密性
  • 运算：加法，乘法，减法，除法 (除0外封闭)
  • 应用：测量，比例，百分比
• 1.1.4 无理数
  • 定义：无限不循环小数
  • 种类：π, √2, e
  • 性质：不可表示为分数
  • 运算：与有理数运算遵循实数运算规则
  • 应用：几何，物理
• 1.1.5 实数 (R)
  • 定义：有理数和无理数的集合
  • 性质：完备性
  • 运算：加法，乘法，减法，除法 (除0外封闭)
  • 应用：所有数学领域
• 1.1.6 复数 (C)
  • 定义：形如 a + bi (a, b为实数, i为虚数单位, i² = -1) 的数
  • 组成：实部 (a)，虚部 (b)
  • 运算：加法，乘法，减法，除法
  • 应用：工程，物理

1.2 代数式

• 1.2.1 单项式
  • 定义：数字与字母的乘积 (或单独的数字或字母)
  • 系数：单项式中的数字因数
  • 次数：所有字母的指数之和
• 1.2.2 多项式
  • 定义：几个单项式的和
  • 项：多项式中的每个单项式
  • 次数：多项式中次数最高的项的次数
• 1.2.3 整式
  • 定义：单项式和多项式的统称
  • 运算：加法，减法，乘法，除法
• 1.2.4 分式
  • 定义：形如 A/B (A, B为整式, B≠0) 的式子
  • 性质：分子分母同时乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变
  • 运算：加法，减法，乘法，除法
• 1.2.5 方程
  • 定义：含有未知数的等式
  • 解：使方程成立的未知数的值
  • 类型：一元一次方程，二元一次方程，一元二次方程
  • 应用：解决实际问题
• 1.2.6 不等式
  • 定义：用不等号连接的式子
  • 解集：使不等式成立的未知数的取值范围
  • 类型：一元一次不等式，一元二次不等式
  • 应用：解决实际问题

1.3 函数

• 1.3.1 定义
  • 概念：自变量和因变量之间的对应关系
  • 表示：解析式，图像，表格
• 1.3.2 常见函数
  • 一次函数：y = kx + b (k≠0)
  • 二次函数：y = ax² + bx + c (a≠0)
  • 反比例函数：y = k/x (k≠0)
  • 指数函数：y = a^x (a>0, a≠1)
  • 对数函数：y = log_a(x) (a>0, a≠1, x>0)
  • 三角函数：sin x, cos x, tan x
• 1.3.3 函数性质
  • 定义域
  • 值域
  • 单调性
  • 奇偶性
  • 周期性
  • 最值

二、空间与几何

2.1 平面几何

• 2.1.1 点，线，面
  • 基本元素
  • 关系：点在线上，线在面上
• 2.1.2 图形
  • 三角形
    • 种类：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，等腰三角形，等边三角形
    • 性质：内角和180°，边角关系
  • 四边形
    • 种类：平行四边形，矩形，菱形，正方形，梯形
    • 性质：边角关系，对角线关系
  • 圆
    • 要素：圆心，半径，直径
    • 性质：周长，面积，弧长，扇形面积
• 2.1.3 全等与相似
  • 全等：形状和大小完全相同
  • 相似：形状相同，大小不同
  • 判定定理
• 2.1.4 变换
  • 平移
  • 旋转
  • 轴对称
  • 位似

2.2 立体几何

• 2.2.1 空间图形
  • 棱柱
  • 棱锥
  • 圆柱
  • 圆锥
  • 球
• 2.2.2 位置关系
  • 直线与直线
    • 平行
    • 相交
    • 异面
  • 直线与平面
    • 平行
    • 垂直
    • 相交
  • 平面与平面
    • 平行
    • 相交
• 2.2.3 表面积与体积
  • 公式
  • 计算

2.3 解析几何

• 2.3.1 坐标系
  • 直角坐标系
  • 极坐标系
• 2.3.2 直线方程
  • 点斜式
  • 斜截式
  • 两点式
  • 一般式
• 2.3.3 圆的方程
  • 标准方程
  • 一般方程
• 2.3.4 圆锥曲线
  • 椭圆
  • 双曲线
  • 抛物线

三、统计与概率

3.1 统计

• 3.1.1 数据收集与整理
  • 调查
  • 实验
  • 数据表格
• 3.1.2 数据描述
  • 平均数
  • 中位数
  • 众数
  • 方差
  • 标准差
• 3.1.3 统计图表
  • 条形图
  • 折线图
  • 扇形图
  • 直方图

3.2 概率

• 3.2.1 随机事件
  • 确定性事件
  • 不确定性事件
• 3.2.2 概率的计算
  • 古典概率
  • 几何概率
• 3.2.3 概率的应用
  • 预测
  • 决策

四、逻辑与集合

4.1 逻辑

• 4.1.1 命题
  • 定义：可以判断真假的语句
  • 种类：原命题，逆命题，否命题，逆否命题
• 4.1.2 逻辑联结词
  • 且 (∧)
  • 或 (∨)
  • 非 (¬)
• 4.1.3 量词
  • 全称量词 (∀)
  • 存在量词 (∃)

4.2 集合

• 4.2.1 定义
  • 概念：一些对象的全体
  • 元素：组成集合的每个对象
• 4.2.2 表示
  • 列举法
  • 描述法
• 4.2.3 关系
  • 元素与集合的关系：属于 (∈)，不属于 (∉)
  • 集合与集合的关系：包含 (⊆)，真包含 (⊂)，相等 (=)
• 4.2.4 运算
  • 交集 (∩)
  • 并集 (∪)
  • 补集 (∁)