平行四边行的思维导图

两组对边分别平行的四边形。
1.1 定义
对边平行且相等: AB || CD, AD || BC, AB = CD, AD = BC
对角相等: ∠A = ∠C, ∠B = ∠D
邻角互补: ∠A + ∠B = 180°, ∠B + ∠C = 180°, ∠C + ∠D = 180°, ∠D + ∠A = 180°
对角线互相平分: AO = CO, BO = DO (O为对角线交点)
中心对称图形: 平行四边形是中心对称图形,对称中心为对角线的交点。
面积: 底 × 高 (S = b * h)
1.2 重要性质
一、定义与性质
两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 (定义)
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
2.1 基于边的判定
两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
2.2 基于角的判定
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
2.3 基于对角线的判定
二、判定定理
定义: 有一个角是直角的平行四边形。
具有平行四边形的所有性质。
四个角都是直角。
对角线相等且互相平分。
性质:
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形。
有三个角是直角的四边形是矩形。
判定:
3.1 矩形
定义: 一组邻边相等的平行四边形。
具有平行四边形的所有性质。
四条边都相等。
对角线互相垂直平分且平分每一组对角。
性质:
一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
判定:
3.2 菱形
定义: 一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形(也可以理解为既是矩形又是菱形的平行四边形)。
具有平行四边形、矩形和菱形的所有性质。
四条边都相等。
四个角都是直角。
对角线相等、互相垂直平分且平分每一组对角。
性质:
有一个角是直角的菱形是正方形。
一组邻边相等的矩形是正方形。
对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形。
判定:
3.3 正方形
三、特殊平行四边形
公式: S = b * h (b为底,h为底对应的高)
4.1 一般平行四边形
公式: S = a * b (a, b 分别为矩形的长和宽)
4.2 矩形
公式1: S = b * h (b为边长,h为边长对应的高)
公式2: S = (1/2) * d1 * d2 (d1, d2分别为菱形的两条对角线)
4.3 菱形
公式1: S = a² (a为边长)
公式2: S = (1/2) * d² (d为对角线长)
4.4 正方形
四、面积计算
中位线定理: 三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。利用中位线可以构造平行四边形。
5.1 与三角形的关系
平行四边形是一种特殊的梯形,即两腰平行的梯形,但梯形不是平行四边形(只有一组对边平行)。
等腰梯形和直角梯形不是平行四边形。
5.2 与梯形的关系
平行四边形是四边形的一种特殊形式。
可以通过添加条件将一般的四边形转化为平行四边形。
5.3 与四边形的关系
五、与其他图形的关系
各种框架结构(例如:推拉门,伸缩门等)。
设计和建筑。
数学建模。
6.1 实际生活
几何证明题。
求解面积问题。
坐标系中与平行四边形相关的计算问题。
向量相关问题(平行四边形法则)。
6.2 数学问题
六、应用
灵活运用判定定理。
通常先证明四边形是平行四边形,再根据题目要求证明其是特殊平行四边形。
注意转化思想,可以将证明边、角相等转化为证明线段平行或者角相等。
7.1 证明平行四边形
根据已知条件选择合适的性质。
注意对角线的运用,特别是特殊平行四边形的对角线性质。
善于发现隐藏条件,如中点、垂直等。
7.2 利用性质解题
选择合适的底和高。
注意面积公式的变形运用。
可以将复杂的图形分割成若干个平行四边形或三角形进行计算。
7.3 面积计算
七、解题技巧
混淆平行四边形的判定定理和性质。
忽视特殊平行四边形的特殊性质。
面积计算时,底和高对应错误。
证明线段平行时,只证明了一组对边平行,忘记证明另一组对边平行。
忽略题目的隐含条件。
八、易错点
平行四边形的思维导图
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