《八年级上册数学全等三角形思维导图》
1. 全等三角形的概念与性质
1.1 定义
- 形状相同，大小也相同的两个三角形称为全等三角形。
- 全等三角形对应边相等，对应角相等。
- 记法：△ABC ≌ △DEF （注意对应顶点书写顺序）
1.2 全等符号与读法
- 符号：≌
- 读作：全等于
1.3 全等三角形的性质
- 对应边相等：AB = DE, BC = EF, AC = DF
- 对应角相等：∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F
- 对应边上的高、中线、角平分线分别相等
- 周长、面积相等
1.4 寻找对应边、对应角的方法
- 公共边/公共角：即为对应边/对应角
- 对应顶点所对的边为对应边，对应边所对的角为对应角
- 最大角对最大角，最小角对最小角；最长边对最长边，最短边对最短边
- 根据全等符号的顺序确定对应关系
2. 全等三角形的判定方法
2.1 判定定理
- SSS (边边边)：三边对应相等的两个三角形全等。
- 需要已知条件：三条边的长度
- 适用范围：已知三边长度
- SAS (边角边)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
- 需要已知条件：两边的长度以及它们的夹角
- 适用范围：已知两边及夹角
- ASA (角边角)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
- 需要已知条件：两个角的度数以及它们的夹边
- 适用范围：已知两角及夹边
- AAS (角角边)：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
- 需要已知条件：两个角的度数以及其中一个角的对边
- 适用范围：已知两角及一角的对边
- HL (斜边、直角边)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
- 需要已知条件：斜边的长度以及一条直角边的长度
- 适用范围：仅适用于直角三角形
2.2 判定方法的选择
- 首先分析已知条件，观察具备哪些元素(边、角)。
- 根据已有元素，选择对应的判定定理。
- 注意SSA无法判定三角形全等，需要特别留意。
- 直角三角形优先考虑HL。
2.3 证明书写规范
- 证明前明确目标：证明哪两个三角形全等。
- 书写格式：
- 在△ABC和△DEF中，
- AB = DE (已知)
- ∠B = ∠E (已知)
- BC = EF (已知)
- ∴△ABC ≌ △DEF (SAS)
- 必须写清依据，避免省略重要步骤。
3. 角平分线的性质与判定
3.1 角平分线的定义
- 从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
3.2 角平分线的性质
- 角平分线上的点到角两边的距离相等。
- 符号语言：∵ OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB ∴PD = PE
3.3 角平分线的判定
- 到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
- 符号语言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE ∴OC平分∠AOB
3.4 角平分线的应用
- 构造辅助线，利用角平分线性质或判定解决问题。
- 常用于证明线段相等。
4. 垂直平分线的性质与判定
4.1 垂直平分线的定义
- 经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
4.2 垂直平分线的性质
- 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
- 符号语言：∵ l是AB的垂直平分线，P是l上一点 ∴PA = PB
4.3 垂直平分线的判定
- 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
- 符号语言：∵PA = PB ∴P在AB的垂直平分线上
4.4 垂直平分线的应用
- 构造辅助线，利用垂直平分线性质或判定解决问题。
- 常用于证明线段相等。
5. 全等三角形的应用
5.1 证明线段相等
- 将要证明相等的两条线段分别放在两个三角形中。
- 通过证明这两个三角形全等，得到对应边相等。
- 也可以利用角平分线或垂直平分线的性质进行证明。
5.2 证明角相等
- 将要证明相等的两个角分别放在两个三角形中。
- 通过证明这两个三角形全等，得到对应角相等。
5.3 解决实际问题
- 将实际问题抽象成数学问题，构造全等三角形模型。
- 例如测量距离、角度等。
- 关键在于识别隐藏的全等条件。
6. 常见辅助线作法
6.1 倍长中线法
- 当题中出现中点时，常考虑倍长中线。
- 将中线延长一倍，构造全等三角形。
6.2 角平分线模型
- 角平分线 + 垂线，构造全等三角形或等腰三角形。
- 在角平分线上截取相等的线段，构造全等三角形。
6.3 截长补短法
- 当证明线段之间的和差关系时，可采用截长或补短的方法。
- 截长：在长线段上截取一部分，使之等于较短的线段，然后证明剩余部分等于另一条较短的线段。
- 补短：将一条较短的线段延长，延长部分等于另一条较短的线段，然后证明延长后的线段等于长线段。
6.4 构造平行线
- 利用平行线的性质，将角进行转化，创造全等条件。
7. 易错点
- SSA不能判定三角形全等。
- 忽略全等三角形的对应关系，导致证明错误。
- 对角平分线和垂直平分线的性质和判定理解不透彻，导致应用错误。
- 辅助线添加不当，导致问题无法解决。
- 书写证明过程不规范，缺少必要的步骤和依据。