《数学思维导图六年级》
一、数与代数
1. 数的认识
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整数:
- 正整数: 1, 2, 3...
- 零: 0
- 负整数: -1, -2, -3...
- 性质: 可数性，顺序性，加法、减法、乘法封闭性
- 应用: 计数，测量，标号，排序
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分数:
- 真分数: 分子小于分母
- 假分数: 分子大于或等于分母
- 带分数: 整数部分 + 真分数
- 性质: 可化为小数（有限小数或循环小数），可以进行通分、约分
- 应用: 比例，百分数，单位"1"
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小数:
- 有限小数: 小数部分位数有限
- 无限小数: 小数部分位数无限
- 无限循环小数: 小数部分循环出现
- 无限不循环小数: 小数部分不循环出现 (无理数，六年级不深究)
- 性质: 可以化为分数，可以使用四舍五入法近似取值
- 应用: 测量，计算，日常生活
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百分数:
- 表示一个数是另一个数的百分之几
- 性质: 不能带单位
- 应用: 利率，折扣，增长率，合格率
2. 数的运算
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整数运算:
- 加法：交换律，结合律
- 减法：减法的性质
- 乘法：交换律，结合律，分配律
- 除法：除法的性质
- 混合运算: 运算顺序 (先乘除，后加减，有括号先算括号)
- 简便运算: 运用运算定律进行简便计算
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分数运算:
- 加法：同分母分数相加减，异分母分数先通分
- 减法：同分母分数相加减，异分母分数先通分
- 乘法：分子乘分子，分母乘分母
- 除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数
- 混合运算: 运算顺序与整数混合运算相同
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小数运算:
- 加法：小数点对齐
- 减法：小数点对齐
- 乘法：先按整数乘法计算，再确定小数点位置
- 除法：除数变整数，被除数相应变化
- 混合运算: 运算顺序与整数混合运算相同
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百分数运算:
- 与分数运算类似，先把百分数化为分数或小数
- 应用: 求一个数的百分之几是多少，求一个数比另一个数多（少）百分之几
3. 式与方程
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字母表示数:
- 用字母表示运算定律，计算公式
- 用字母表示未知数
- 书写规范: 注意字母大小写，数字在前字母在后，乘号省略
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方程:
- 含有未知数的等式
- 等式的性质: 等式两边同时加上或减去同一个数，同时乘以或除以同一个数（0除外），等式仍然成立
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解方程:
- 利用等式的性质
- 步骤: 移项，合并同类项，系数化为1
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列方程解应用题:
- 步骤:
- 设未知数
- 找等量关系
- 列方程
- 解方程
- 检验
- 答
- 步骤:
4. 比和比例
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比:
- 两个数相除又叫两个数的比
- 比的性质: 比的前项和后项同时乘以或除以同一个数（0除外），比值不变
- 化简比: 化成最简整数比
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比例:
- 表示两个比相等的式子
- 比例的性质: 比例的内项积等于外项积
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正比例:
- 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量叫做成正比例的量
- 图像: 一条经过原点的直线
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反比例:
- 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量叫做成反比例的量
- 图像: 双曲线的一部分
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比例尺:
- 图上距离与实际距离的比
- 应用: 根据比例尺求实际距离或图上距离
二、空间与图形
1. 平面图形
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圆:
- 圆心，半径，直径
- 周长: C = πd = 2πr
- 面积: S = πr²
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扇形:
- 圆的一部分
- 面积: S = (n/360)πr² （n为圆心角度数）
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轴对称图形:
- 如果一个图形沿一条直线对折，两部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形
- 对称轴: 折痕所在的直线
- 常见轴对称图形: 圆，正方形，长方形，等腰三角形，等边三角形
2. 立体图形
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长方体:
- 6个面，12条棱，8个顶点
- 表面积: S = 2(ab + ah + bh)
- 体积: V = abh
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正方体:
- 6个面都是正方形，12条棱长度相等，8个顶点
- 表面积: S = 6a²
- 体积: V = a³
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圆柱:
- 2个底面（圆形），1个侧面（展开是长方形）
- 侧面积: S = 2πrh
- 表面积: S = 2πr² + 2πrh
- 体积: V = πr²h
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圆锥:
- 1个底面（圆形），1个侧面（展开是扇形）
- 体积: V = (1/3)πr²h
3. 图形的变换
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平移:
- 物体沿直线方向运动
- 特点: 大小，形状不变
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旋转:
- 物体绕着一个点或一条直线转动
- 特点: 大小，形状不变
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放大与缩小:
- 图形按一定比例放大或缩小
- 特点: 形状不变，大小变化
4. 位置与方向
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方向的描述:
- 东，南，西，北
- 东北，东南，西北，西南
- 角度表示方向 (如：北偏东30°)
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确定位置:
- 用数对表示位置 (横，纵)
- 用方向和距离描述位置
三、统计与概率
1. 统计图
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条形统计图:
- 能清楚地表示出每个项目的具体数量
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折线统计图:
- 能清楚地表示出数量的增减变化情况
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扇形统计图:
- 能清楚地表示出各部分数量占总数量的百分比
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选择合适的统计图: 根据数据的特点和要表达的信息选择
2. 统计量
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平均数: 所有数据的总和除以数据的个数
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中位数: 将数据按大小顺序排列，位于最中间的数据（或中间两个数据的平均数）
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众数: 在一组数据中，出现次数最多的数据
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平均数的应用: 反映数据的平均水平
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中位数的应用: 反映数据的集中趋势
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众数的应用: 反映数据的普遍情况
3. 可能性
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可能性的大小:
- 可能性大：发生的概率高
- 可能性小：发生的概率低
- 等可能性：发生的概率相同
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简单的概率计算:
- 可能性 = (有利情况数) / (总情况数)
四、综合应用
1. 解决问题策略
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画图策略: 帮助理解题意，寻找解题思路
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假设策略: 假设一种情况，进行推理
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转化策略: 将复杂问题转化为简单问题
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倒推策略: 从结果出发，逐步倒推到起始状态
2. 实际问题应用
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工程问题: 工作效率，工作时间，工作总量的关系
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行程问题: 速度，时间，路程的关系
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百分数问题: 折扣，利率，纳税
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比例问题: 按比例分配，比例尺
3. 数学思考
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逻辑推理: 根据已知条件进行推理
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归纳总结: 从具体事例中归纳出一般规律
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抽象概括: 从具体问题中抽象出数学模型