《四年级上册乘法和除法的思维导图》
一、乘法
1. 概念理解
- 定义： 求几个相同加数的和的简便运算。
- 组成部分：
- 因数：参与乘法运算的数。
- 积：乘法运算的结果。
- 意义：
- 求几个相同加数的和。
- 求一个数的几倍是多少。
- 相关概念：
- 倍数：一个数能够被另一个数整除，这个数就是另一个数的倍数。
2. 乘法运算定律
- 乘法交换律：
- 内容：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。
- 公式：a × b = b × a
- 应用：简化计算，验算。
- 乘法结合律：
- 内容：三个数相乘，先算前两个数相乘，或者先算后两个数相乘，积不变。
- 公式：(a × b) × c = a × (b × c)
- 应用：简化计算，分组计算。
- 乘法分配律：
- 内容：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。
- 公式：(a + b) × c = a × c + b × c 或 a × (b + c) = a × b + a × c
- 逆用： a × c + b × c = (a + b) × c 或 a × b + a × c = a × (b + c)
- 应用：简化计算，提取公因数。
3. 乘法的计算
- 口算：
- 整十、整百、整千数乘一位数。
- 根据乘法口诀快速计算。
- 利用乘法分配律进行简化口算。
- 估算：
- 将因数估成整十、整百数。
- 根据估算结果判断计算是否合理。
- 结合生活实际进行估算。
- 笔算：
- 三位数乘两位数。
- 多位数乘两位数。
- 注意数位对齐，进位。
- 计算过程的步骤：
- 用两位数个位上的数去乘三位数，积的末位和两位数的个位对齐。
- 用两位数十位上的数去乘三位数，积的末位和两位数的十位对齐。
- 把两次乘得的积加起来。
4. 乘法应用
- 解决问题：
- 理解题意，分析数量关系。
- 列出乘法算式。
- 单位名称的书写。
- 检查计算结果是否合理。
- 常见应用题型：
- 求总数问题：单价 × 数量 = 总价，速度 × 时间 = 路程，工作效率 × 工作时间 = 工作总量。
- 倍数问题：一个数的几倍是多少。
- 混合运算问题：需要运用多种运算定律进行计算。
二、除法
1. 概念理解
- 定义： 已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
- 组成部分：
- 被除数：除法运算中被分割的数。
- 除数：除法运算中用来分割被除数的数。
- 商：除法运算的结果。
- 余数：除法运算中不能被整除的数。
- 意义：
- 平均分：把一个数平均分成几份，求每份是多少。
- 包含除：求一个数里包含几个另一个数。
- 相关概念：
- 整除：被除数、除数和商都是整数，并且没有余数。
- 余数一定要小于除数。
2. 除法运算性质
- 商不变的规律：
- 内容：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。
- 应用：简化计算，将被除数和除数转化成更容易计算的数。
3. 除法的计算
- 口算：
- 整十、整百、整千数除以一位数。
- 根据乘法口诀逆向计算。
- 利用商不变的规律进行简化口算。
- 估算：
- 将被除数估成整十、整百数或能被除数整除的数。
- 根据估算结果判断计算是否合理。
- 结合生活实际进行估算。
- 笔算：
- 三位数除以两位数。
- 多位数除以两位数。
- 注意数位对齐，试商。
- 计算过程的步骤：
- 先用除数试除被除数的前两位，如果前两位比除数小，就试除前三位。
- 商要写在试除的那一位的上面。
- 每次除后余下的数必须比除数小。
- 验算：商 × 除数 + 余数 = 被除数 (当有余数时) 或 商 × 除数 = 被除数(当没有余数时)。
4. 除法应用
- 解决问题：
- 理解题意，分析数量关系。
- 列出除法算式。
- 单位名称的书写。
- 检查计算结果是否合理。
- 常见应用题型：
- 平均分问题：总数 ÷ 份数 = 每份数。
- 包含除问题：总数 ÷ 每份数 = 份数。
- 路程问题：路程 ÷ 速度 = 时间，路程 ÷ 时间 = 速度。
- 混合运算问题：需要运用多种运算定律进行计算。
- 周期问题：根据规律进行分析，确定周期，再进行计算。
5. 易错点
- 0在乘除法中的特殊性：
- 任何数乘0都等于0。
- 0除以任何不是0的数都等于0。
- 0不能做除数。
- 余数的处理：
- 根据实际情况进行“进一”或者“去尾”。
- 计算中的粗心：
- 抄错数字，忘记进位，忘记退位，数位对齐错误。
三、混合运算
- 运算顺序：
- 同级运算：从左到右依次计算。
- 不同级运算：先算乘除，后算加减。
- 有括号的：先算括号里面的，再算括号外面的。
- 应用：
- 综合运用乘法和除法知识解决实际问题。
- 灵活运用运算定律进行简便计算。
- 注意：
- 认真审题，明确运算顺序。
- 养成良好的计算习惯，提高计算的准确率。
- 根据题目特点选择合适的解题方法。