《数学冀教版九年级上下册思维导图》

九年级上册

第一章 一元二次方程

• 概念：
  • 定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。一般形式：ax² + bx + c = 0 (a≠0)
  • 判别：系数、项的特征
• 解法：
  • 直接开平方法：适用于 (x+m)²=n (n≥0) 型
  • 配方法：将一般形式化为 (x+m)²=n (n≥0) 型
  • 公式法：x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a (b²-4ac≥0)
  • 因式分解法：将方程左边分解成两个一次因式的乘积，使之等于0
    • 提公因式法
    • 公式法
    • 十字相乘法
• 根的判别式：
  • Δ = b² - 4ac
  • Δ > 0：方程有两个不相等的实数根
  • Δ = 0：方程有两个相等的实数根
  • Δ < 0：方程没有实数根
• 根与系数的关系（韦达定理）：
  • x₁ + x₂ = -b/a
  • x₁ * x₂ = c/a
• 应用：
  • 几何问题：利用一元二次方程解决面积、体积等问题
  • 实际问题：例如增长率问题、利润问题等
  • 构造方程：利用韦达定理，构造方程求值或判断根的情况

第二章 二次函数

• 概念：
  • 定义：形如 y = ax² + bx + c (a≠0) 的函数
  • 一般式：y = ax² + bx + c
  • 顶点式：y = a(x-h)² + k，顶点坐标 (h, k)
  • 交点式：y = a(x-x₁)(x-x₂)，其中 x₁ 和 x₂ 是与 x 轴的交点横坐标
• 图像与性质：
  • 开口方向：由 a 的符号决定 (a>0 开口向上，a<0 开口向下)
  • 对称轴：x = -b/2a
  • 顶点坐标：(-b/2a, (4ac-b²)/4a)
  • 增减性：在对称轴左侧或右侧，y 随 x 的增大而增大或减小，取决于 a 的符号
  • 最值：当 a>0 时，函数有最小值；当 a<0 时，函数有最大值，最值为顶点纵坐标
  • 与 x 轴的交点：令 y=0，解一元二次方程 ax²+bx+c=0
• 图像变换：
  • 平移：左加右减，上加下减
  • 对称：关于 x 轴对称，y 变为 -y；关于 y 轴对称，x 变为 -x；关于原点对称，x 和 y 都变为相反数
• 应用：
  • 解决实际问题：例如抛物线问题、拱桥问题、最大利润问题等
  • 与其他知识结合：例如与一次函数、反比例函数等结合

第三章 旋转

• 概念：
  • 旋转中心、旋转角、旋转方向
  • 旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角，旋转前后的图形全等
• 中心对称：
  • 中心对称图形、中心对称点
  • 性质：对应点关于对称中心对称，连接对称点的线段被对称中心平分
• 旋转作图：
  • 确定旋转中心、旋转角、旋转方向
  • 利用旋转的性质作图
• 简单图案设计：
  • 利用旋转、平移、轴对称等方式设计图案
• 旋转的应用：
  • 解决几何问题，例如求角度、线段长度等

第四章 圆

• 概念：
  • 圆心、半径、直径
  • 弦、弧、优弧、劣弧
  • 圆心角、圆周角
  • 弦心距
• 性质：
  • 圆的对称性：圆是轴对称图形，也是中心对称图形
  • 垂径定理及其推论
  • 圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等
  • 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
  • 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补
• 位置关系：
  • 点与圆的位置关系：点在圆内、圆上、圆外
  • 直线与圆的位置关系：相交、相切、相离
    • 切线的判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
    • 切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径
    • 切线长定理
  • 圆与圆的位置关系：外离、外切、相交、内切、内含
    • 两圆圆心距与半径的关系
• 弧长和扇形面积：
  • 弧长公式：l = nπr/180
  • 扇形面积公式：S = nπr²/360 = lr/2
• 圆锥的侧面积：
  • S侧 = πrl，其中 r 为底面半径，l 为母线长

九年级下册

第一章 相似形

• 比例线段：
  • 比例、比例项、外项、内项
  • 比例的基本性质
  • 合比定理、等比定理
• 相似三角形：
  • 定义：对应角相等，对应边成比例的三角形
  • 相似三角形的判定：
    • 平行于三角形一边的直线，截其他两边，所得的三角形与原三角形相似
    • 两角对应相等的三角形相似
    • 两边对应成比例且夹角相等的三角形相似
    • 三边对应成比例的三角形相似
  • 相似三角形的性质：
    • 对应角相等
    • 对应边成比例
    • 相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比
    • 相似三角形的周长比等于相似比
    • 相似三角形的面积比等于相似比的平方
• 相似多边形：
  • 定义：对应角相等，对应边成比例的多边形
• 位似图形：
  • 位似中心、位似比
  • 位似图形的性质：对应点连线经过位似中心，对应线段平行或共线，位似比等于相似比
• 应用：
  • 测量旗杆的高度、河宽等

第二章 解直角三角形

• 锐角三角函数：
  • 正弦(sin)、余弦(cos)、正切(tan)的定义
  • 特殊角的三角函数值：30°、45°、60°
  • 锐角三角函数之间的关系：
    • sin²A + cos²A = 1
    • tanA = sinA/cosA
    • tanA * tan(90°-A) = 1
• 解直角三角形：
  • 已知两边求角
  • 已知一边一角求边
  • 已知一边一角求角
• 应用：
  • 仰角、俯角、坡度、坡角
  • 方位角
  • 利用解直角三角形解决实际问题

第三章 统计初步

• 数据的收集与整理：
  • 抽样调查
  • 普查
  • 样本、总体
• 数据的描述：
  • 平均数：算术平均数、加权平均数
  • 中位数：将数据按大小顺序排列，位于中间位置的数
  • 众数：数据中出现次数最多的数
• 数据的分析：
  • 方差、标准差：反映数据的波动程度
  • 频率分布直方图
  • 利用统计图表分析数据
• 可能性：
  • 随机事件
  • 概率：事件发生的可能性大小
  • 用频率估计概率

第四章 投影与视图

• 投影：
  • 平行投影、中心投影
  • 正投影
• 视图：
  • 主视图、左视图、俯视图
  • 简单物体的三视图
  • 由三视图判断几何体
• 展开图：
  • 简单几何体的展开图
• 应用：
  • 读图、作图
  • 解决实际问题，例如计算物体的面积、体积等