七上数学代数思维导图

# 《七上数学代数思维导图》

## 一、有理数

### 1.1 有理数的概念

*   **1.1.1 正数与负数**
    *   意义：具有相反意义的量，用正负数表示。
    *   表示：正数前面加“+”，负数前面加“-”。 0既不是正数也不是负数。
*   **1.1.2 有理数**
    *   定义：整数和分数统称为有理数。
    *   分类：
        *   按定义分：{ 正整数，0，负整数，正分数，负分数 }
        *   按性质分：{ 正有理数，0，负有理数 }
    *   数轴：
        *   定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线。
        *   三要素：原点、正方向、单位长度。
        *   作用：表示数，比较大小。

### 1.2 数轴、相反数与绝对值

*   **1.2.1 数轴**
    *   数轴的三要素
    *   数轴上的点与有理数的一一对应关系
*   **1.2.2 相反数**
    *   定义：只有符号不同的两个数互为相反数。
    *   几何意义：在数轴上，表示相反数的两个点关于原点对称。
    *   代数意义：a的相反数是-a。 特别的，0的相反数是0。
    *   性质：a+ (-a) = 0
*   **1.2.3 绝对值**
    *   定义：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
    *   代数意义：
        *   |a| = a (a≥0)
        *   |a| = -a (a<0)
    *   几何意义：数轴上表示数a的点到原点的距离。
    *   非负性：|a|≥0
    *   性质：
        *   |a|= |-a|
        *   若|a|=|b|, 则a=b或a=-b

### 1.3 有理数的运算

*   **1.3.1 有理数的加法**
    *   法则：
        *   同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
        *   异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
        *   一个数同0相加，仍得这个数。
    *   运算律：
        *   交换律：a+b = b+a
        *   结合律：(a+b)+c = a+(b+c)
*   **1.3.2 有理数的减法**
    *   法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
    *   a - b = a + (-b)
*   **1.3.3 有理数的乘法**
    *   法则：
        *   两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
        *   任何数同0相乘，都得0。
    *   运算律：
        *   交换律：a×b = b×a
        *   结合律：(a×b)×c = a×(b×c)
        *   分配律：a×(b+c) = a×b + a×c
*   **1.3.4 有理数的除法**
    *   法则：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。
    *   a ÷ b = a × (1/b) (b≠0)
    *   两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 0除以任何一个不等于0的数，都得0。
*   **1.3.5 有理数的乘方**
    *   定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。
    *   记作：a^n (a为底数，n为指数，a^n为幂)
    *   性质：
        *   正数的任何次幂都是正数。
        *   负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
        *   0的任何正整数次幂都是0。
*   **1.3.6 科学计数法**
    *   定义：把一个大于10的数表示成 a×10^n 的形式（其中1≤|a|<10，n为正整数），这种记数方法叫做科学记数法。
*   **1.3.7 近似数与有效数字**
    *   近似数：与实际数字很接近的数。
    *   精确度：近似数与实际数字的接近程度。
    *   有效数字：从左边第一个不是0的数字起，到末位数字止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字。
*   **1.3.8 有理数的混合运算**
    *   运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右；如有括号，先算括号里面的。

## 二、整式的加减

### 2.1 用字母表示数

*   **2.1.1 代数式**
    *   定义：用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。 单独一个数或一个字母也是代数式。
*   **2.1.2 代数式的值**
    *   定义：用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。

### 2.2 整式

*   **2.2.1 单项式**
    *   定义：由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式。单独一个数或一个字母也是单项式。
    *   系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数。
    *   次数：单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数。
*   **2.2.2 多项式**
    *   定义：几个单项式的和叫做多项式。
    *   项：多项式中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。
    *   次数：多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。
*   **2.2.3 整式**
    *   定义：单项式和多项式统称为整式。

### 2.3 合并同类项

*   **2.3.1 同类项**
    *   定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。所有的常数项都是同类项。
*   **2.3.2 合并同类项**
    *   法则：把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。

### 2.4 去括号与添括号

*   **2.4.1 去括号**
    *   法则：
        *   括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变符号。
        *   括号前是“−”号，把括号和它前面的“−”号去掉，括号里各项都改变符号。
*   **2.4.2 添括号**
    *   法则：
        *   添括号后，括号前是“+”号，括到括号里的各项都不改变符号。
        *   添括号后，括号前是“−”号，括到括号里的各项都改变符号。

### 2.5 整式的加减

*   运算步骤：
    *   （1）如果有括号，先去括号；
    *   （2）再合并同类项。

## 三、一元一次方程

### 3.1 从算式到方程

*   **3.1.1 方程**
    *   定义：含有未知数的等式叫做方程。
*   **3.1.2 一元一次方程**
    *   定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1的方程，叫做一元一次方程。
*   **3.1.3 方程的解**
    *   定义：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。

### 3.2 解一元一次方程(一)

*   **3.2.1 等式的性质**
    *   性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
    *   性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
*   **3.2.2 移项**
    *   定义：把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，叫做移项。 (通常把含有未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边。)
*   **3.2.3 解一元一次方程的步骤**
    *   (1) 移项；
    *   (2) 合并同类项；
    *   (3) 系数化为1。

### 3.3 解一元一次方程(二)

*   **3.3.1 去括号**
    *   先去小括号，再去中括号，最后去大括号。
    *   注意括号前的符号。
*   **3.3.2 去分母**
    *   方程两边同时乘各分母的最小公倍数。
    *   注意不要漏乘不含分母的项。
*   **3.3.3 解一元一次方程的完整步骤**
    *   (1) 去分母；
    *   (2) 去括号；
    *   (3) 移项；
    *   (4) 合并同类项；
    *   (5) 系数化为1。

### 3.4 应用一元一次方程

*   **3.4.1 列方程解应用题的步骤**
    *   (1) 审题：弄清题意，找出已知条件和未知数。
    *   (2) 设未知数：选择一个适当的未知数用字母表示（例如 x）。
    *   (3) 列方程：根据题中的等量关系，列出方程。
    *   (4) 解方程：求出未知数的值。
    *   (5) 检验：检验求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案。
*   **3.4.2 常见应用题类型**
    *   行程问题：路程=速度×时间
    *   工程问题：工作量=工作效率×工作时间
    *   利润问题：利润=售价-成本，利润率=利润/成本×100%
    *   数字问题
    *   配套问题
    *   分配问题

这份思维导图涵盖了七年级上册数学代数的主要知识点，希望能帮助理解和复习。

《七上数学代数思维导图》

一、有理数

1.1 有理数的概念

1.1.1 正数与负数
- 意义：具有相反意义的量，用正负数表示。
- 表示：正数前面加“+”，负数前面加“-”。 0既不是正数也不是负数。
1.1.2 有理数
- 定义：整数和分数统称为有理数。
- 分类：
  - 按定义分：{ 正整数，0，负整数，正分数，负分数 }
  - 按性质分：{ 正有理数，0，负有理数 }
- 数轴：
  - 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线。
  - 三要素：原点、正方向、单位长度。
  - 作用：表示数，比较大小。

1.2 数轴、相反数与绝对值

1.2.1 数轴
- 数轴的三要素
- 数轴上的点与有理数的一一对应关系
1.2.2 相反数
- 定义：只有符号不同的两个数互为相反数。
- 几何意义：在数轴上，表示相反数的两个点关于原点对称。
- 代数意义：a的相反数是-a。特别的，0的相反数是0。
- 性质：a+ (-a) = 0
1.2.3 绝对值
- 定义：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
- 代数意义：
  - |a| = a (a≥0)
  - |a| = -a (a<0)
- 几何意义：数轴上表示数a的点到原点的距离。
- 非负性：|a|≥0
- 性质：
  - |a|= |-a|
  - 若|a|=|b|, 则a=b或a=-b

1.3 有理数的运算

1.3.1 有理数的加法
- 法则：
  - 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
  - 异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
  - 一个数同0相加，仍得这个数。
- 运算律：
  - 交换律：a+b = b+a
  - 结合律：(a+b)+c = a+(b+c)
1.3.2 有理数的减法
- 法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
- a - b = a + (-b)
1.3.3 有理数的乘法
- 法则：
  - 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
  - 任何数同0相乘，都得0。
- 运算律：
  - 交换律：a×b = b×a
  - 结合律：(a×b)×c = a×(b×c)
  - 分配律：a×(b+c) = a×b + a×c
1.3.4 有理数的除法
- 法则：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。
- a ÷ b = a × (1/b) (b≠0)
- 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 0除以任何一个不等于0的数，都得0。
1.3.5 有理数的乘方
- 定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。
- 记作：a^n (a为底数，n为指数，a^n为幂)
- 性质：
  - 正数的任何次幂都是正数。
  - 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
  - 0的任何正整数次幂都是0。
1.3.6 科学计数法
- 定义：把一个大于10的数表示成 a×10^n 的形式（其中1≤|a|<10，n为正整数），这种记数方法叫做科学记数法。
1.3.7 近似数与有效数字
- 近似数：与实际数字很接近的数。
- 精确度：近似数与实际数字的接近程度。
- 有效数字：从左边第一个不是0的数字起，到末位数字止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字。
1.3.8 有理数的混合运算
- 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右；如有括号，先算括号里面的。

二、整式的加减

2.1 用字母表示数

2.1.1 代数式
- 定义：用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独一个数或一个字母也是代数式。
2.1.2 代数式的值
- 定义：用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。

2.2 整式

2.2.1 单项式
- 定义：由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式。单独一个数或一个字母也是单项式。
- 系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数。
- 次数：单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数。
2.2.2 多项式
- 定义：几个单项式的和叫做多项式。
- 项：多项式中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。
- 次数：多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。
2.2.3 整式
- 定义：单项式和多项式统称为整式。

2.3 合并同类项

2.3.1 同类项
- 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。所有的常数项都是同类项。
2.3.2 合并同类项
- 法则：把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。

2.4 去括号与添括号

2.4.1 去括号
- 法则：
  - 括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变符号。
  - 括号前是“−”号，把括号和它前面的“−”号去掉，括号里各项都改变符号。
2.4.2 添括号
- 法则：
  - 添括号后，括号前是“+”号，括到括号里的各项都不改变符号。
  - 添括号后，括号前是“−”号，括到括号里的各项都改变符号。

2.5 整式的加减

运算步骤：
- （1）如果有括号，先去括号；
- （2）再合并同类项。

三、一元一次方程

3.1 从算式到方程

3.1.1 方程
- 定义：含有未知数的等式叫做方程。
3.1.2 一元一次方程
- 定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1的方程，叫做一元一次方程。
3.1.3 方程的解
- 定义：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。

3.2 解一元一次方程(一)

3.2.1 等式的性质
- 性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
- 性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
3.2.2 移项
- 定义：把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，叫做移项。 (通常把含有未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边。)
3.2.3 解一元一次方程的步骤
- (1) 移项；
- (2) 合并同类项；
- (3) 系数化为1。

3.3 解一元一次方程(二)

3.3.1 去括号
- 先去小括号，再去中括号，最后去大括号。
- 注意括号前的符号。
3.3.2 去分母
- 方程两边同时乘各分母的最小公倍数。
- 注意不要漏乘不含分母的项。
3.3.3 解一元一次方程的完整步骤
- (1) 去分母；
- (2) 去括号；
- (3) 移项；
- (4) 合并同类项；
- (5) 系数化为1。

3.4 应用一元一次方程

3.4.1 列方程解应用题的步骤
- (1) 审题：弄清题意，找出已知条件和未知数。
- (2) 设未知数：选择一个适当的未知数用字母表示（例如 x）。
- (3) 列方程：根据题中的等量关系，列出方程。
- (4) 解方程：求出未知数的值。
- (5) 检验：检验求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案。
3.4.2 常见应用题类型
- 行程问题：路程=速度×时间
- 工程问题：工作量=工作效率×工作时间
- 利润问题：利润=售价-成本，利润率=利润/成本×100%
- 数字问题
- 配套问题
- 分配问题