《原来数学可以这样学每一章节思维导图》

一、数与式

1.1 实数

• 定义：
  • 有理数：整数、分数（有限小数、无限循环小数）
  • 无理数：无限不循环小数
• 分类：
  • 正数、0、负数
• 性质：
  • 相反数：a与-a
  • 绝对值：|a|
  • 倒数：a的倒数为1/a
• 运算：
  • 加、减、乘、除、乘方、开方
  • 运算律：交换律、结合律、分配律
  • 运算顺序：先乘方开方，再乘除，后加减

1.2 整式

• 单项式：
  • 系数、次数
• 多项式：
  • 项、项数、次数、常数项
• 整式运算：
  • 合并同类项
  • 乘法：单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式
  • 乘法公式：平方差公式、完全平方公式
  • 除法：单项式除以单项式、多项式除以单项式

1.3 分式

• 定义： A/B (B≠0)
• 性质：
  • 分式的基本性质：分子分母同时乘或除以一个不为零的数，分式的值不变
• 运算：
  • 加减：通分
  • 乘除：分子分母分别相乘除
• 分式方程：
  • 解法：去分母，化为整式方程
  • 验根：必须验根

1.4 二次根式

• 定义： √(a) (a≥0)
• 性质：
  • √(a²) = |a|
• 运算：
  • 乘法：√(a) * √(b) = √(ab)
  • 除法：√(a) / √(b) = √(a/b)
  • 加减：化简后合并同类二次根式
• 最简二次根式：
  • 被开方数不含分母
  • 被开方数不含能开的尽方的因数或因式

二、方程与不等式

2.1 一元一次方程

• 定义： 只有一个未知数，且未知数的次数为1的方程
• 解法：
  • 去分母
  • 去括号
  • 移项
  • 合并同类项
  • 系数化为1
• 应用题：
  • 列方程解决实际问题

2.2 二元一次方程组

• 定义： 含有两个未知数，且未知数的次数都为1的方程组
• 解法：
  • 代入消元法
  • 加减消元法
• 应用题：
  • 列方程组解决实际问题

2.3 一元二次方程

• 定义： 只有一个未知数，且未知数的次数为2的方程
• 解法：
  • 直接开平方法
  • 配方法
  • 公式法
  • 因式分解法
• 判别式： Δ = b² - 4ac
  • Δ > 0：两个不相等的实数根
  • Δ = 0：两个相等的实数根
  • Δ < 0：没有实数根
• 根与系数的关系： (韦达定理)
  • x1 + x2 = -b/a
  • x1 * x2 = c/a
• 应用题：
  • 列方程解决实际问题

2.4 不等式与不等式组

• 不等式的性质：
  • 同加/减：不等号方向不变
  • 同乘/除以正数：不等号方向不变
  • 同乘/除以负数：不等号方向改变
• 不等式的解法：
  • 一元一次不等式
  • 一元一次不等式组
• 不等式的表示：
  • 数轴表示法
  • 区间表示法

三、函数

3.1 函数的概念

• 定义： 自变量、因变量、定义域、值域
• 表示方法：
  • 解析式法
  • 列表法
  • 图像法

3.2 一次函数

• 定义： y = kx + b (k≠0)
• 图像： 直线
• 性质：
  • k > 0：增函数
  • k < 0：减函数
  • b：与y轴的交点
• 应用：
  • 实际问题

3.3 反比例函数

• 定义： y = k/x (k≠0)
• 图像： 双曲线
• 性质：
  • k > 0：一、三象限
  • k < 0：二、四象限
• 应用：
  • 实际问题

3.4 二次函数

• 定义： y = ax² + bx + c (a≠0)
• 图像： 抛物线
• 性质：
  • a > 0：开口向上，有最小值
  • a < 0：开口向下，有最大值
  • 顶点坐标：(-b/2a, (4ac-b²)/4a)
  • 对称轴：x = -b/2a
• 与坐标轴的交点：
  • 与x轴：令y=0，解一元二次方程
  • 与y轴：令x=0
• 应用：
  • 实际问题

四、图形与几何

4.1 三角形

• 分类：
  • 按角：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
  • 按边：等腰三角形、等边三角形
• 性质：
  • 内角和：180°
  • 三边关系：两边之和大于第三边
• 重要线段：
  • 中线
  • 高线
  • 角平分线
• 全等三角形：
  • 判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL
• 相似三角形：
  • 判定：AA、SAS、SSS
  • 性质：对应边成比例，对应角相等

4.2 四边形

• 平行四边形：
  • 性质：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分
• 矩形：
  • 性质：具有平行四边形所有性质，对角线相等
• 菱形：
  • 性质：具有平行四边形所有性质，四边相等，对角线互相垂直平分
• 正方形：
  • 性质：具有矩形和菱形的所有性质
• 梯形：
  • 等腰梯形
  • 直角梯形

4.3 圆

• 定义： 圆心、半径、直径
• 弧、弦、圆心角、圆周角
• 性质：
  • 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半
• 切线：
  • 切线的判定
  • 切线的性质：切线垂直于过切点的半径
• 扇形：
  • 弧长公式
  • 面积公式

4.4 几何变换

• 平移
• 旋转
• 轴对称
• 中心对称

五、概率与统计

5.1 概率

• 事件： 必然事件、不可能事件、随机事件
• 概率的计算：
  • 古典概型
  • 频率估计概率

5.2 统计

• 数据的收集与整理
• 统计图：
  • 条形统计图
  • 扇形统计图
  • 折线统计图
• 数据的描述：
  • 平均数
  • 中位数
  • 众数
  • 方差、标准差

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