《代数的思维导图》

I. 代数基础概念

A. 变量与常量

1. 变量 (Variables)

• 定义：代表未知数或可变数值的符号。
  • 示例：x, y, z, a, b, c。
  • 作用：用于表达普遍规律，构建方程，表示函数关系。

2. 常量 (Constants)

• 定义：具有固定数值的符号。
  • 示例：1, 2, π, e。
  • 作用：作为方程的已知参数，定义固定的数学关系。

B. 表达式 (Expressions)

1. 定义

• 定义：由变量、常量和运算符号组成的数学短语。
  • 示例：2x + 3, a - b / 5, x^2 + 2xy + y^2。
  • 特点：不包含等号或不等号。

2. 运算顺序

• 规则：遵循PEMDAS/BODMAS原则。
  • Parentheses/Brackets (括号)
  • Exponents/Orders (指数/乘方)
  • Multiplication and Division (乘法和除法)
  • Addition and Subtraction (加法和减法)

C. 方程 (Equations)

1. 定义

• 定义：包含等号 (=) 的数学语句，表示两个表达式相等。
  • 示例：2x + 3 = 7, a - b = 5, x^2 = 9。
  • 目标：求解未知变量的值，使等式成立。

2. 类型

• 线性方程：变量的最高次幂为1。例如：ax + b = 0。
  • 二次方程：变量的最高次幂为2。例如：ax^2 + bx + c = 0。
  • 多项式方程：变量的最高次幂为大于2的整数。
  • 指数方程：变量在指数位置。例如：2^x = 8。
  • 对数方程：变量在对数内部。例如：log(x) = 2。

D. 不等式 (Inequalities)

1. 定义

• 定义：使用不等号（>, <, ≥, ≤, ≠）连接的数学语句，表示两个表达式的大小关系。
  • 示例：2x + 3 > 7, a - b ≤ 5, x^2 ≠ 9。
  • 目标：求解未知变量的取值范围。

2. 解法

• 基本原则：与解方程类似，但需要注意不等号方向。
  • 特殊情况：乘以或除以负数时，需要反转不等号方向。

II. 代数运算

A. 多项式运算

1. 定义

• 定义：由一个或多个单项式组成的代数表达式。
  • 单项式：由系数、变量和非负整数指数组成的项。
  • 多项式的加减：合并同类项。
  • 多项式的乘法：分配律。例如：(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd。

2. 特殊乘法公式

• 平方差公式：(a + b)(a - b) = a^2 - b^2。
  • 完全平方公式：(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2，(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2。

3. 因式分解

• 定义：将一个多项式分解成几个更简单多项式的乘积。
  • 方法：提取公因式，运用公式，分组分解，十字相乘法。

B. 分式运算

1. 定义

• 定义：形如 A/B 的表达式，其中A和B都是多项式，且B不为零。

2. 运算

• 加减法：通分，使分母相同，然后合并分子。
  • 乘法：分子乘分子，分母乘分母。
  • 除法：乘以除数的倒数。
  • 化简：约分，使分子和分母没有公因式。

C. 指数运算

1. 定义

• 定义：表示一个数自乘若干次的运算。a^n 表示 a 乘以自身 n 次。

2. 运算规则

• a^m * a^n = a^(m+n)
  • a^m / a^n = a^(m-n)
  • (a^m)^n = a^(m*n)
  • (ab)^n = a^n * b^n
  • a^0 = 1 (a ≠ 0)
  • a^(-n) = 1 / a^n

D. 根式运算

1. 定义

• 定义：表示对一个数开方运算。√a 表示 a 的平方根，∛a 表示 a 的立方根。

2. 运算规则

• √(ab) = √a * √b
  • √(a/b) = √a / √b
  • (√a)^2 = a
  • 化简：将根号内的因子分解成完全平方数或完全立方数。

III. 函数

A. 函数的定义

1. 定义

• 定义：一种特殊的对应关系，将一个集合（定义域）中的每个元素映射到另一个集合（值域）中的唯一元素。

2. 表示方法

• 解析式：用代数表达式表示函数关系。例如：f(x) = 2x + 3。
  • 图像：用坐标系中的曲线或直线表示函数关系。
  • 表格：用表格列出函数关系中一些特定值的对应关系。

B. 常见函数类型

1. 线性函数

• 定义：f(x) = kx + b，其中 k 是斜率，b 是 y 轴截距。
  • 图像：直线。

2. 二次函数

• 定义：f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a ≠ 0。
  • 图像：抛物线。
  • 顶点式：f(x) = a(x - h)^2 + k，顶点坐标为 (h, k)。

3. 指数函数

• 定义：f(x) = a^x，其中 a > 0 且 a ≠ 1。
  • 性质：单调性，过定点 (0, 1)。

4. 对数函数

• 定义：f(x) = logₐ(x)，其中 a > 0 且 a ≠ 1。
  • 性质：单调性，过定点 (1, 0)。

C. 函数的性质

1. 定义域

• 定义：使函数有意义的自变量 x 的取值范围。

2. 值域

• 定义：函数所有输出值 f(x) 的集合。

3. 单调性

• 定义：函数在某个区间内单调递增或单调递减的性质。

4. 奇偶性

• 奇函数：f(-x) = -f(x)，图像关于原点对称。
  • 偶函数：f(-x) = f(x)，图像关于 y 轴对称。

IV. 线性代数基础

A. 向量 (Vectors)

1. 定义

• 定义：具有大小和方向的量，可以表示为有序数组。

2. 运算

• 加法：对应元素相加。
  • 数乘：向量的每个元素乘以一个标量。
  • 点积 (Dot product)：a · b = |a||b|cosθ。

B. 矩阵 (Matrices)

1. 定义

• 定义：由数字组成的矩形数组。

2. 运算

• 加法：对应元素相加。
  • 数乘：矩阵的每个元素乘以一个标量。
  • 矩阵乘法：满足一定的条件才能进行。
  • 转置：行变成列，列变成行。

C. 线性方程组

1. 定义

• 定义：由多个线性方程组成的方程组。

2. 解法

• 高斯消元法：通过初等行变换将矩阵化为阶梯形。
  • 克拉默法则：适用于方程个数等于未知数个数的情况。

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