《奥数思维导图》
一、 数与计算
1.1 整数
1.1.1 整数的认识
- 自然数: 定义、性质、计数单位
- 零: 特殊性、运算中的作用
- 负数: 引入、意义、正负数比较
- 数位与位数: 位值制、数的组成与分解
1.1.2 整数的运算
- 加法: 交换律、结合律、凑整思想
- 减法: 减法的性质、逆运算关系
- 乘法: 交换律、结合律、分配律
- 除法: 除法的性质、余数问题、简便运算
- 混合运算: 运算顺序、括号的应用、简便计算
1.1.3 整数的性质
- 奇数与偶数: 定义、奇偶性判断、运算规律
- 质数与合数: 定义、分解质因数、最大公约数、最小公倍数
- 约数与倍数: 约数的个数、倍数的特征
- 同余: 同余的概念、性质、应用
1.2 分数
1.2.1 分数的认识
- 分数: 定义、意义、分数单位
- 真分数、假分数、带分数: 定义、相互转化
- 分数的基本性质: 分数大小的比较、约分、通分
1.2.2 分数的运算
- 加减法: 同分母加减、异分母加减
- 乘法: 分数乘整数、分数乘分数
- 除法: 分数除以整数、分数除以分数
- 混合运算: 运算顺序、简便计算
1.2.3 分数应用题
- 求一个数的几分之几是多少: 数量关系、解题方法
- 求一个数是另一个数的几分之几: 数量关系、解题方法
- 已知一个数的几分之几是多少，求这个数: 数量关系、解题方法
- 工程问题: 工作效率、工作时间、工作总量的关系
1.3 小数
1.3.1 小数的认识
- 小数: 定义、意义、小数单位
- 小数的读写: 数位顺序表、小数的组成
- 小数的性质: 小数大小的比较、小数点移动引起的变化
1.3.2 小数的运算
- 加减法: 竖式计算、对齐小数点
- 乘法: 竖式计算、小数点位置的确定
- 除法: 竖式计算、循环小数、近似数
1.3.3 小数与分数的互化
- 小数化分数: 方法、技巧
- 分数化小数: 方法、技巧、循环小数的处理
二、 几何图形
2.1 平面图形
2.1.1 基本图形
- 直线、射线、线段: 定义、性质、区别与联系
- 角: 定义、分类（锐角、直角、钝角、平角、周角）
- 三角形: 定义、分类（按角分、按边分）、性质（内角和、边长关系）
- 四边形: 定义、分类（平行四边形、长方形、正方形、梯形）
- 圆: 定义、圆心、半径、直径、周长、面积
2.1.2 周长与面积
- 三角形: 周长计算、面积计算（公式、割补法）
- 四边形: 周长计算、面积计算（公式、分割法）
- 圆: 周长计算（公式）、面积计算（公式）
- 组合图形: 周长计算、面积计算（分割、添补、割补法）
2.2 立体图形
2.2.1 基本图形
- 长方体: 定义、特征、顶点、棱、面
- 正方体: 定义、特征、顶点、棱、面
- 圆柱: 定义、特征、底面、侧面、高
- 圆锥: 定义、特征、底面、侧面、高
- 球: 定义、特征、半径、直径
2.2.2 表面积与体积
- 长方体: 表面积计算（公式）、体积计算（公式）
- 正方体: 表面积计算（公式）、体积计算（公式）
- 圆柱: 表面积计算（公式）、体积计算（公式）
- 圆锥: 体积计算（公式）
- 不规则图形: 排水法
三、 应用题
3.1 简单应用题
3.1.1 基本数量关系
- 加法应用题: 总数与部分数的关系
- 减法应用题: 剩余、比较
- 乘法应用题: 总数与份数的关系
- 除法应用题: 平均分、包含分
3.1.2 解题方法
- 分析法: 从问题入手，逐步分析需要的条件
- 综合法: 从条件入手，逐步推导出结论
- 画线段图: 辅助分析数量关系
3.2 复杂应用题
3.2.1 行程问题
- 基本公式: 速度、时间、路程的关系
- 相遇问题: 同时出发、不同时出发
- 追及问题: 同时出发、不同时出发、环形跑道
- 火车过桥问题: 车长、桥长、速度、时间的关系
3.2.2 工程问题
- 基本公式: 工作效率、工作时间、工作总量的关系
- 合作问题: 合作效率、合作时间
3.2.3 盈亏问题
- 基本类型: 盈多亏少、盈少亏多
- 解题方法: 找出总差额，除以份数差
3.2.4 年龄问题
- 基本特点: 年龄差不变
- 解题方法: 抓住年龄差不变的特点，列方程或算式
3.2.5 鸡兔同笼问题
- 基本方法: 假设法、方程法
- 变形问题: 灵活运用假设法或方程法
3.3 比例问题
3.3.1 比例的意义和性质
- 比例: 两个比相等的式子
- 比例的基本性质: 内项积等于外项积
- 正比例: 意义、图像、判断
- 反比例: 意义、图像、判断
3.3.2 解比例应用题
- 正比例应用题: 根据正比例关系列方程
- 反比例应用题: 根据反比例关系列方程
四、 逻辑推理
4.1 简单推理
4.1.1 排除法
- 基本原理: 排除不可能的情况，剩下的一定是正确的
- 应用: 根据题设条件逐步排除
4.1.2 假设法
- 基本原理: 假设一种情况成立，推导结果是否矛盾
- 应用: 根据题设条件进行假设
4.2 复杂推理
4.2.1 列表法
- 基本原理: 将所有可能的情况列成表格，逐步排除
- 应用: 适用于情况较多的复杂推理
4.2.2 图形推理
- 基本类型: 符号推理、数字推理、图形变化推理
- 解题方法: 观察图形的规律、找出变化规则
五、 常用解题技巧
5.1 转化思想
- 化繁为简: 将复杂的问题转化为简单的问题
- 化难为易: 将难的问题转化为容易的问题
- 数形结合: 将数量关系与图形结合起来
5.2 假设法
- 正向假设: 从已知条件出发，假设一种情况
- 逆向假设: 从结论出发，假设结论成立
5.3 倒推法
- 基本原理: 从最终结果出发，逐步倒推到初始状态
- 应用: 适用于已知结果求原因的问题
5.4 归纳法
- 基本原理: 通过对特殊情况的观察和分析，总结出一般规律
- 应用: 适用于寻找规律的问题
5.5 构造法
- 基本原理: 通过构造特殊的模型，解决问题
- 应用: 适用于解决几何问题、组合问题
六、 重要数学思想
6.1 整体思想
- 基本原理: 将一个整体看作一个对象，进行分析和计算
- 应用: 适用于解决部分与整体的关系问题
6.2 分类讨论思想
- 基本原理: 将问题分成若干个类别，分别进行讨论
- 应用: 适用于存在多种情况的问题
6.3 极限思想
- 基本原理: 通过无限逼近的方法，求得问题的解
- 应用: 适用于解决求极限的问题
6.4 方程思想
- 基本原理: 将未知数设为变量，建立方程，通过解方程来解决问题
- 应用: 适用于解决各种应用题
6.5 对应思想
- 基本原理: 建立两个集合之间的对应关系，通过对应关系解决问题
- 应用: 适用于解决计数问题、组合问题