弹性碰撞思维导图

- 弹性碰撞思维导图
    - 定义
        - 碰撞过程中动量守恒
        - 碰撞过程中总动能守恒
        - 是理想化的碰撞类型
    - 核心原理/定律
        - 动量守恒定律 (Law of Conservation of Momentum)
            - 向量形式: Σp_before = Σp_after
            - 一维形式: m₁v₁ + m₂v₂ = m₁v₁' + m₂v₂'
            - 二维形式: m₁v₁x + m₂v₂x = m₁v₁x' + m₂v₂x' 且 m₁v₁y + m₂v₂y = m₁v₁y' + m₂v₂y'
        - 动能守恒定律 (Law of Conservation of Kinetic Energy)
            - 标量形式: ΣE_k_before = ΣE_k_after
            - 公式: ½m₁v₁² + ½m₂v₂² = ½m₁v₁'² + ½m₂v₂'²
        - 相对速度关系 (仅一维弹性碰撞适用)
            - 碰撞前的相对速度大小等于碰撞后的相对速度大小
            - 碰撞前的相对速度方向与碰撞后相反
            - 公式: v₁ - v₂ = -(v₁' - v₂') 或 v₁ - v₂ = v₂' - v₁'
    - 特点
        - 总动量守恒 (所有不受外力的碰撞都守恒)
        - 总动能守恒 (弹性碰撞特有)
        - 没有能量损失 (转换为热能、形变能等)
        - 相互作用力是瞬时的、内力
        - 碰撞前后物体的形变可以完全恢复
    - 分类/情况
        - 一维弹性碰撞 (沿一条直线发生)
            - 迎面碰撞
            - 追尾碰撞
            - 特殊情况
                - 某一物体静止 (v₂=0)
                    - v₁' = ((m₁-m₂)/(m₁+m₂))v₁
                    - v₂' = (2m₁/(m₁+m₂))v₁
                - 质量相等 (m₁=m₂)
                    - v₁' = v₂
                    - v₂' = v₁ (交换速度)
                - 某一物体质量远大于另一物体 (m₁ >> m₂)
                    - 被撞物体 (m₂) 以接近 2v₁ 的速度飞出
                    - 碰撞物体 (m₁) 速度变化很小，近似保持 v₁
                - 某一物体质量远小于另一物体 (m₁ << m₂)
                    - 被撞物体 (m₂) 速度变化很小，近似保持 v₂
                    - 碰撞物体 (m₁) 速度反向，大小近似不变 (-v₁)
        - 二维弹性碰撞 (在平面上发生，物体以一定角度散射)
            - 需要使用向量形式的动量守恒定律
            - 动能守恒定律依然是标量形式
            - 通常需要知道至少一个碰撞后的角度才能求解速度
    - 数学求解
        - 对于一维弹性碰撞，联立动量守恒和动能守恒方程，可解出两个未知速度 (v₁', v₂')
        - 对于二维弹性碰撞，联立向量形式的动量守恒方程 (可分解为两个标量方程) 和标量形式的动能守恒方程，通常有三个独立方程，可以求解三个未知量 (如两个速度的大小和一个方向角，或两个方向角和一个速度大小等)
    - 应用/例子
        - 理想气体的分子碰撞模型
        - 台球/撞球运动 (近似弹性碰撞)
        - 一些粒子的散射实验 (如卢瑟福α粒子散射)
        - 某些机械系统中的能量传递模型
    - 相关概念
        - 非弹性碰撞 (Inelastic Collision)
            - 动量守恒，但动能不守恒 (有损失)
        - 完全非弹性碰撞 (Perfectly Inelastic Collision)
            - 非弹性碰撞的极端情况，碰撞后物体粘在一起，动能损失最大
        - 冲量 (Impulse)
            - 动量的改变量，I = Δp = FΔt
        - 恢复系数 (Coefficient of Restitution) - e
            - 定义为碰撞后相对速度大小与碰撞前相对速度大小之比 (一维)
            - e = |v₂' - v₁'| / |v₂ - v₁|
            - 弹性碰撞的恢复系数 e = 1
            - 非弹性碰撞 0 < e < 1
            - 完全非弹性碰撞 e = 0
        - 质心系 (Center-of-Mass Frame)
            - 在质心系中，总动量为零，弹性碰撞中，物体的速度大小仅发生变化 (对于一维)，或方向发生变化但大小不变 (对于二维)

弹性碰撞思维导图
- 定义
  - 碰撞过程中动量守恒
  - 碰撞过程中总动能守恒
  - 是理想化的碰撞类型
- 核心原理/定律
  - 动量守恒定律 (Law of Conservation of Momentum)
    - 向量形式: Σp_before = Σp_after
    - 一维形式: m₁v₁ + m₂v₂ = m₁v₁' + m₂v₂'
    - 二维形式: m₁v₁x + m₂v₂x = m₁v₁x' + m₂v₂x' 且 m₁v₁y + m₂v₂y = m₁v₁y' + m₂v₂y'
  - 动能守恒定律 (Law of Conservation of Kinetic Energy)
    - 标量形式: ΣE_k_before = ΣE_k_after
    - 公式: ½m₁v₁² + ½m₂v₂² = ½m₁v₁'² + ½m₂v₂'²
  - 相对速度关系 (仅一维弹性碰撞适用)
    - 碰撞前的相对速度大小等于碰撞后的相对速度大小
    - 碰撞前的相对速度方向与碰撞后相反
    - 公式: v₁ - v₂ = -(v₁' - v₂') 或 v₁ - v₂ = v₂' - v₁'
- 特点
  - 总动量守恒 (所有不受外力的碰撞都守恒)
  - 总动能守恒 (弹性碰撞特有)
  - 没有能量损失 (转换为热能、形变能等)
  - 相互作用力是瞬时的、内力
  - 碰撞前后物体的形变可以完全恢复
- 分类/情况
  - 一维弹性碰撞 (沿一条直线发生)
    - 迎面碰撞
    - 追尾碰撞
    - 特殊情况
      - 某一物体静止 (v₂=0)
        
        v₁' = ((m₁-m₂)/(m₁+m₂))v₁
        
        v₂' = (2m₁/(m₁+m₂))v₁
      - 质量相等 (m₁=m₂)
        
        v₁' = v₂
        
        v₂' = v₁ (交换速度)
      - 某一物体质量远大于另一物体 (m₁ >> m₂)
        
        被撞物体 (m₂) 以接近 2v₁ 的速度飞出
        
        碰撞物体 (m₁) 速度变化很小，近似保持 v₁
      - 某一物体质量远小于另一物体 (m₁ << m₂)
        
        被撞物体 (m₂) 速度变化很小，近似保持 v₂
        
        碰撞物体 (m₁) 速度反向，大小近似不变 (-v₁)
  - 二维弹性碰撞 (在平面上发生，物体以一定角度散射)
    - 需要使用向量形式的动量守恒定律
    - 动能守恒定律依然是标量形式
    - 通常需要知道至少一个碰撞后的角度才能求解速度
- 数学求解
  - 对于一维弹性碰撞，联立动量守恒和动能守恒方程，可解出两个未知速度 (v₁', v₂')
  - 对于二维弹性碰撞，联立向量形式的动量守恒方程 (可分解为两个标量方程) 和标量形式的动能守恒方程，通常有三个独立方程，可以求解三个未知量 (如两个速度的大小和一个方向角，或两个方向角和一个速度大小等)
- 应用/例子
  - 理想气体的分子碰撞模型
  - 台球/撞球运动 (近似弹性碰撞)
  - 一些粒子的散射实验 (如卢瑟福α粒子散射)
  - 某些机械系统中的能量传递模型
- 相关概念
  - 非弹性碰撞 (Inelastic Collision)
    - 动量守恒，但动能不守恒 (有损失)
  - 完全非弹性碰撞 (Perfectly Inelastic Collision)
    - 非弹性碰撞的极端情况，碰撞后物体粘在一起，动能损失最大
  - 冲量 (Impulse)
    - 动量的改变量，I = Δp = FΔt
  - 恢复系数 (Coefficient of Restitution) - e
    - 定义为碰撞后相对速度大小与碰撞前相对速度大小之比 (一维)
    - e = |v₂' - v₁'| / |v₂ - v₁|
    - 弹性碰撞的恢复系数 e = 1
    - 非弹性碰撞 0 < e < 1
    - 完全非弹性碰撞 e = 0
  - 质心系 (Center-of-Mass Frame)
    - 在质心系中，总动量为零，弹性碰撞中，物体的速度大小仅发生变化 (对于一维)，或方向发生变化但大小不变 (对于二维)

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