《六上分数乘法思维导图高难度》
一、 核心概念与定义
1.1 分数乘整数
- 概念: 求几个相同分数的和的简便运算。
- 计算方法: 分数的分母不变，分子与整数相乘的积作分子。
- 公式: (a/b) × c = (a × c)/b (b≠0)
- 注意事项:
- 计算前要观察整数和分母是否可以约分，先约分再计算，结果更简便。
- 结果必须是最简分数。
- 拓展: 可以理解为“c个(a/b)是多少”，也可以理解为“a/b的c倍是多少”。
1.2 分数乘分数
- 概念: 求一个数的几分之几是多少。
- 计算方法: 分子乘分子作分子，分母乘分母作分母。
- 公式: (a/b) × (c/d) = (a × c) / (b × d) (b≠0, d≠0)
- 注意事项:
- 计算前要观察分子和分母是否可以约分，先约分再计算，结果更简便。要交叉约分。
- 结果必须是最简分数。
- 分子分母都是整数，并且只有公因数1。
- 拓展:
- 理解为“a/b的c/d是多少”。
- 可以连续乘多个分数：(a/b) × (c/d) × (e/f) = (a × c × e) / (b × d × f)
1.3 倒数的认识
- 概念: 乘积是1的两个数互为倒数。
- 性质: 倒数是对两个数的关系而言，必须说一个数是另一个数的倒数，不能单独说某个数是倒数。
- 求倒数的方法:
- 求分数的倒数：分子和分母颠倒位置。
- 求整数的倒数：把整数看作分母是1的分数，再按分数求倒数的方法求倒数。 (如： 5 -> 1/5)
- 求小数的倒数：先将小数化成分数，再按分数求倒数的方法求倒数。
- 1的倒数是1，0没有倒数。(因为分母不能为0)
- 易错点: 学生容易认为0的倒数是0。
二、 混合运算与简便计算
2.1 运算顺序
- 遵循整数的运算顺序:
- 先乘除，后加减。
- 有括号的，先算括号里面的，再算括号外面的。
- 带分数乘法: 先将带分数化成假分数，再进行计算。
2.2 运算定律的推广
- 乘法交换律: a × b = b × a (a/b) × (c/d) = (c/d) × (a/b)
- 乘法结合律: (a × b) × c = a × (b × c) [(a/b) × (c/d)] × (e/f) = (a/b) × [(c/d) × (e/f)]
- 乘法分配律: (a + b) × c = a × c + b × c (a/b + c/d) × (e/f) = (a/b) × (e/f) + (c/d) × (e/f)
- 分配律的逆运算也要熟练掌握： a × c + b × c = (a + b) × c (a/b) × (e/f) + (c/d) × (e/f) = (a/b + c/d) × (e/f)
2.3 常见简便计算技巧
- 凑整法: 将分数凑成整数方便计算。
- 拆分法: 将一个分数拆分成两个分数方便计算。
- 例如: 1/2 = 1 - 1/2 ; 1/6 = 1/2 - 1/3; 1/12 = 1/3 - 1/4
- 提取公因数: 运用乘法分配律的逆运算。
三、 解决问题
3.1 求一个数的几分之几是多少
- 方法: 用乘法计算。 问题中出现“的”字，通常表示乘法关系。
- 关键: 找准单位“1”。
- 类型:
- 直接用分数乘法计算。
- 需要先确定单位“1”的数量。
- 常见变式:
- 比一个数多/少几分之几是多少。 先求出多/少的部分，再进行加/减。
3.2 分数连乘问题
- 方法: 将所有分数相乘。
- 关键: 分析清楚数量关系，明确每个分数表示的含义。
3.3 稍复杂的解决问题 (单位“1”的量未知)
- 方法: 通常用方程解决。
- 步骤:
- 找准等量关系。
- 设未知数为x。
- 根据等量关系列方程。
- 解方程。
- 检验并写答。
- 常见等量关系:
- 实际数量 = 单位“1”的量 × 分率
- 部分量 + 部分量 = 总量
- 原有的 - 用去的 = 剩下的
3.4 工程问题
- 核心: 将总工作量看作单位“1”。
- 关系式:
- 工作效率 = 工作量 / 工作时间
- 工作时间 = 工作量 / 工作效率
- 工作量 = 工作效率 × 工作时间
- 常见题型:
- 单独完成一项工程需要多少时间。
- 合作完成一项工程需要多少时间。
- 甲乙合作若干天后，剩余部分由甲/乙单独完成。
3.5 面积问题
- 回顾图形的面积公式:
- 长方形面积 = 长 × 宽
- 正方形面积 = 边长 × 边长
- 三角形面积 = 底 × 高 ÷ 2
- 平行四边形面积 = 底 × 高
- 梯形面积 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2
- 结合分数乘法: 将面积公式中的边长或高替换成含有分数的数量关系。
四、 易错点总结
- 约分不彻底: 导致结果不是最简分数。
- 颠倒倒数: 求倒数时分子分母位置颠倒错误。
- 混淆运算顺序: 忘记先算乘除，后算加减。
- 误用运算定律: 错误运用乘法分配律等简便计算方法。
- 单位“1”的判断错误: 导致列式错误。
- 忽略题目中的隐藏条件: 例如：实际长度是计划的几分之几。
- 计算错误: 特别是多步运算，容易出错。
- 漏写单位名称: 解答题需要写单位名称。
五、 高难度拓展
5.1 复杂分数应用题
- 结合多个知识点，需要灵活运用各种方法才能解决。
- 例如：涉及多个分率关系、需要多次转化单位“1”的应用题。
5.2 比的应用
- 将比转化为分数的思想，再进行计算。
5.3 比例的应用
- 利用比例关系解决分数乘法问题。
5.4 综合运用
- 将分数乘法与工程问题、行程问题、几何问题等结合起来。
5.5 非常规解法
- 利用方程、假设法、枚举法等解决一些特殊的分数乘法问题。
通过理解核心概念，掌握计算技巧，并能灵活运用解决问题，才能真正掌握分数乘法的精髓。 此外，需要多加练习，才能熟练运用，并在考试中取得好成绩。