《角及其计算思维导图初一》
一、角的概念与表示
1. 定义：
- 静态定义： 由同一个端点引出的两条射线组成的图形叫做角。
- 动态定义： 一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形叫做角。
- 端点： 角的顶点。
- 射线： 角的两条边。
2. 表示方法：
- 用三个大写字母表示： 顶点字母必须写在中间。例如：∠AOB。
- 用一个大写字母表示： 当顶点处只有一个角时，可以用顶点字母表示。例如：∠O。
- 用数字表示： 在角的内部靠近顶点处写上一个数字，例如：∠1。
- 用希腊字母表示： 在角的内部靠近顶点处写上一个希腊字母，例如：∠α。
3. 角的单位及换算：
- 度(°): 将一个圆周分成360等份，每一份所对的圆心角就是1度，记作1°。
- 分('): 1度等于60分，记作 1° = 60'。
- 秒("): 1分等于60秒，记作 1' = 60"。
4. 角的分类：
- 锐角： 大于0°小于90°的角。
- 直角： 等于90°的角。
- 钝角： 大于90°小于180°的角。
- 平角： 等于180°的角。（一条直线）
- 周角： 等于360°的角。（一条射线旋转一周）
- 特殊角： 30°，45°，60°，90°，180°，360° 等。
二、角的比较与运算
1. 角的大小比较：
- 叠合法： 将两个角的顶点重合，一条边重合，观察另一条边的位置。
- 如果∠AOB的另一边在∠COD的内部，则∠AOB < ∠COD。
- 如果∠AOB的另一边在∠COD的外部，则∠AOB > ∠COD。
- 如果∠AOB的另一边与∠COD的另一边重合，则∠AOB = ∠COD。
- 度量法： 分别测量出两个角的度数，比较它们的大小。
2. 角的和、差、倍、分：
- 角的和： 将两个角的度数相加。
- 角的差： 将两个角的度数相减。
- 角的倍： 将角的度数乘以一个数。
- 角的分： 将角的度数除以一个数。
- 注意： 角度的加减运算中，度与度相加减，分与分相加减，秒与秒相加减。如果分或秒相加的结果大于60，要进行进位。如果分或秒相减不够减，要进行借位。
3. 角平分线：
- 定义： 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线叫做这个角的平分线。
- 性质： 角平分线将角分成两个相等的角。 若OC平分∠AOB，则∠AOC = ∠BOC = 1/2 ∠AOB。
三、角的特殊关系
1. 余角：
- 定义： 如果两个角的和等于90°，那么这两个角互为余角。
- 性质： 同角或等角的余角相等。
2. 补角：
- 定义： 如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补角。
- 性质： 同角或等角的补角相等。
3. 对顶角：
- 定义： 一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角互为对顶角。
- 性质： 对顶角相等。
4. 邻补角：
- 定义： 有公共顶点，且有一条公共边，另一条边互为反向延长线的两个角互为邻补角。
- 性质： 邻补角互补（和为180°）。
四、角的计算应用
1. 利用方程思想解决角度问题：
- 将角的数量关系转化为代数关系，列方程或方程组求解。
- 常用等量关系：互余、互补、角平分线等。
2. 实际问题中的角度计算：
- 方向角：指北或指南方向线与目标方向线所夹的角。通常以正北或正南方向为基准，描述物体所处的方位。例如：北偏东30°，南偏西45°。
- 坡度：坡面的铅直高度与水平距离的比值，常用角度表示。
五、思维导图总结
- 核心概念： 角的定义、表示、单位换算、分类。
- 角的运算： 比较、和、差、倍、分，角平分线。
- 特殊关系： 余角、补角、对顶角、邻补角。
- 应用： 方程思想、方向角、坡度。
通过对角的概念、表示、运算以及特殊关系的理解，结合方程思想，可以灵活解决各种角度计算问题，并应用于实际生活情境中。 掌握角的知识是学习后续几何知识的基础，务必熟练掌握。
六、例题分析
例1：已知∠AOB = 75°，∠BOC = 30°，求∠AOC的度数。
- 思路： 需要考虑∠BOC在∠AOB内部和外部两种情况。
- 解：
- 当∠BOC在∠AOB内部时，∠AOC = ∠AOB - ∠BOC = 75° - 30° = 45°。
- 当∠BOC在∠AOB外部时，∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 75° + 30° = 105°。
例2：已知∠α与∠β互余，∠α = 35°，求∠β的度数。
- 思路： 根据互余的定义，两个角的和为90°。
- 解：∠β = 90° - ∠α = 90° - 35° = 55°。
例3：OC是∠AOB的平分线，∠AOC = 25°，求∠AOB的度数。
- 思路： 根据角平分线的定义，∠AOB = 2 * ∠AOC。
- 解：∠AOB = 2 ∠AOC = 2 25° = 50°。
通过以上例题，可以更好地理解和运用角的概念和性质解决实际问题。 在学习过程中，要多加练习，灵活运用所学知识。