《分数除法的思维导图》

中心主题：分数除法

一、定义与意义

• 定义： 已知两个数的积和一个因数，求另一个因数的运算。可以看作是乘法的逆运算。
• 意义1（等分除法）： 将一个数平均分成若干份，求每一份是多少。对应问题：已知总数和份数，求每份数。 例：一根绳子长6米，平均分成2/3，每段长多少米？ (6 ÷ 2/3)
• 意义2（包含除法）： 求一个数里包含多少个另一个数。对应问题：已知总数和每份数，求份数。例：一根绳子长6米，每2/3米剪一段，可以剪多少段？ (6 ÷ 2/3)
• 与整数除法的联系： 分数除法的意义与整数除法的意义相同，都是已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。
• 与乘法的联系： 除法是乘法的逆运算。a ÷ b = c 可以转换成 a = b × c

二、计算法则

• 除以整数： 分数除以整数 (0除外)，等于分数乘以这个整数的倒数。 a/b ÷ c = a/b × 1/c （c≠0）
  • 特殊情况： 分子是整数的倍数时，可以直接用分子除以整数，分母不变。
  • 注意事项： 整数要化为倒数，不能直接用分数除以整数。
• 除以分数： 分数除以分数，等于分数乘以除数的倒数。 a/b ÷ c/d = a/b × d/c （c≠0）
  • 除数倒数： 牢记是除数的倒数，而不是被除数的倒数。
  • 一般步骤： 1. 将除法转化为乘法 2. 找出除数的倒数 3. 进行分数乘法计算
• 带分数除法：
  • 化成假分数： 首先将带分数化成假分数。
  • 应用除法法则： 然后按照分数除法的计算法则进行计算。
• 小数除法：
  • 转化为分数： 将小数转化为分数形式。
  • 应用除法法则： 然后按照分数除法的计算法则进行计算。
• 整数除以分数： 整数除以分数，等于整数乘以这个分数的倒数。 a ÷ c/d = a × d/c （c≠0）
  • 整数化分数： 可以将整数看作分母为1的分数。

三、倒数

• 定义： 乘积是1的两个数互为倒数。
• 求倒数方法：
  • 分数： 交换分子和分母的位置。
  • 整数： 将整数看作分母是1的分数，然后交换分子和分母的位置。
  • 小数： 先将小数化为分数，再求倒数。
  • 带分数： 先将带分数化为假分数，再求倒数。
• 特殊数的倒数：
  • 1的倒数是1。
  • 0没有倒数。
• 倒数的意义： 倒数是分数除法计算的基础。

四、解决问题

• 找准单位“1”：
  • 题目中含有“是”、“占”、“相当于”等词语时，后面的量通常是单位“1”。
  • 如果没有明确指出，通常把总量、全长等作为单位“1”。
• 分析数量关系：
  • 理解题意，理清各个量之间的关系。
  • 画线段图辅助分析。
• 列方程解应用题：
  • 根据数量关系列出方程。
  • 解方程时，利用等式的性质。
• 算术方法解应用题：
  • 确定已知和未知，以及单位“1”。
  • 根据分数除法的意义进行计算。
• 常见题型：
  • 求一个数的几分之几是多少。（乘法）
  • 已知一个数的几分之几是多少，求这个数。（除法）
  • 比较量问题，找出标准量和比较量，确定数量关系。
• 检验： 计算完成后，要进行检验，确保答案的正确性。

五、易错点

• 倒数概念混淆： 误认为互为倒数的两个数相加等于1。
• 计算法则混淆： 除以一个数，等于乘以这个数的倒数，容易忘记求倒数。
• 单位“1”的判断错误： 导致数量关系分析错误。
• 算式列错： 乘法和除法混淆，导致算式列错。
• 解方程错误： 忘记等式的性质，或者计算出错。
• 没有约分： 计算结果没有化简成最简分数。
• 忘记写单位名称： 应用题中忘记写单位名称。

六、分数除法与比

• 比的化简： 利用分数除法可以将比化简成最简整数比。
• 比的应用： 许多涉及比例的问题可以用分数除法的知识来解决。 例如，已知A:B = 2:3，A是10，求B。 可以转化为 B = 10 ÷ 2/3

七、与其他知识的联系

• 分数乘法： 分数除法是分数乘法的逆运算。
• 整数除法： 分数除法的意义与整数除法相同。
• 方程： 可以用方程来解决分数除法的应用题。
• 比和比例： 分数除法与比和比例的知识紧密相关。