二次函数知识点总结思维导图

# 《二次函数知识点总结思维导图》

## 一、定义与形式

### 1.1 二次函数定义

*   定义：形如 y = ax² + bx + c (a≠0) 的函数，其中 a, b, c 为常数。
*   关键：a ≠ 0 (保证是二次函数); 自变量x的最高次数为2; 等号左边是y, 右边是关于x的二次表达式。

### 1.2 二次函数的形式

*   一般式：y = ax² + bx + c (a≠0)
    *   特点：容易看出a, b, c的值;  方便代值计算函数值。
*   顶点式：y = a(x - h)² + k (a≠0)
    *   特点：直接看出顶点坐标(h, k)和对称轴 x = h;  便于求最大值/最小值。
*   交点式：y = a(x - x₁)(x - x₂) (a≠0)
    *   特点：直接看出与x轴的两个交点 (x₁, 0) 和 (x₂, 0);  在已知两个交点坐标时使用方便。

### 1.3 形式之间的转化

*   一般式 → 顶点式：配方法 (核心)
    *   y = a(x + b/2a)² + (4ac - b²)/4a,  顶点坐标 (-b/2a, (4ac - b²)/4a)
*   顶点式 → 一般式：展开合并同类项
*   交点式 → 一般式：展开合并同类项

## 二、图像与性质

### 2.1 图像：抛物线

*   形状：开口向上 (a > 0), 开口向下 (a < 0)
*   对称轴：直线 x = -b/2a  (顶点式的对称轴是 x = h)
*   顶点：坐标为 (-b/2a, (4ac - b²)/4a)  (顶点式的顶点是 (h, k))
    *   最高点/最低点：a > 0 时，顶点是最低点，函数有最小值；a < 0 时，顶点是最高点，函数有最大值。
*   与y轴的交点：(0, c)
*   与x轴的交点：方程 ax² + bx + c = 0 的根
    *   Δ = b² - 4ac > 0: 抛物线与x轴有两个交点
    *   Δ = b² - 4ac = 0: 抛物线与x轴有一个交点 (与x轴相切)
    *   Δ = b² - 4ac < 0: 抛物线与x轴没有交点

### 2.2 性质

*   开口方向：由 a 的符号决定
*   对称性：关于对称轴对称
*   顶点坐标：决定函数的最大值/最小值
*   增减性：
    *   a > 0 时，对称轴左侧，y随x增大而减小；对称轴右侧，y随x增大而增大。
    *   a < 0 时，对称轴左侧，y随x增大而增大；对称轴右侧，y随x增大而减小。
*   平移：
    *   y = ax²  →  y = a(x - h)² + k :  先左右平移 |h| 个单位 (h > 0 向右，h < 0 向左)，再上下平移 |k| 个单位 (k > 0 向上，k < 0 向下)。

## 三、解析式求法

### 3.1 待定系数法

*   原理：根据已知条件列方程组，解方程组求出未知系数。
*   步骤：
    1.  选择适当的函数形式 (一般式、顶点式、交点式)
    2.  根据已知条件列方程组 (通常需要三个条件)
    3.  解方程组，求出未知系数
    4.  写出函数解析式

### 3.2 常见题型

*   已知三个点坐标，求解析式 (一般选择一般式)
*   已知顶点坐标和另一个点坐标，求解析式 (一般选择顶点式)
*   已知与x轴的两个交点坐标和另一个点坐标，求解析式 (一般选择交点式)
*   已知对称轴和一个点坐标，求解析式 (需要结合对称性找另一个点，再选择合适的形式)

## 四、应用

### 4.1 最大值/最小值问题

*   利用顶点坐标求解
*   实际问题建模：建立二次函数模型，求解最大值/最小值

### 4.2 与坐标轴交点问题

*   求与x轴交点：解方程 ax² + bx + c = 0
*   求与y轴交点：令 x = 0, 求 y 的值

### 4.3 图象与其他函数/图形的综合问题

*   直线与抛物线的交点问题
*   涉及面积计算的问题
*   动态问题：点在线段/抛物线上移动，求线段长度/图形面积的最值

## 五、根的判别式与交点个数

### 5.1 根的判别式 (Δ = b² - 4ac)

*   Δ > 0：方程 ax² + bx + c = 0 有两个不相等的实数根；抛物线与x轴有两个交点。
*   Δ = 0：方程 ax² + bx + c = 0 有两个相等的实数根 (重根)；抛物线与x轴有一个交点 (相切)。
*   Δ < 0：方程 ax² + bx + c = 0 没有实数根；抛物线与x轴没有交点。

### 5.2 交点个数与 Δ 的关系

*   两个交点 <=> Δ > 0
*   一个交点 (相切) <=> Δ = 0
*   没有交点 <=> Δ < 0

## 六、注意事项

*   a ≠ 0 的条件始终不能忘记
*   注意二次函数与其他知识的综合应用 (例如：三角形、四边形、相似三角形、方程、不等式等)
*   配方法是解决二次函数问题的核心方法，务必熟练掌握
*   注意数形结合，利用图像帮助理解和解决问题。
*   在解决实际问题时，注意自变量的取值范围。

《二次函数知识点总结思维导图》

一、定义与形式

1.1 二次函数定义

定义：形如 y = ax² + bx + c (a≠0) 的函数，其中 a, b, c 为常数。
关键：a ≠ 0 (保证是二次函数); 自变量x的最高次数为2; 等号左边是y, 右边是关于x的二次表达式。

1.2 二次函数的形式

一般式：y = ax² + bx + c (a≠0)
- 特点：容易看出a, b, c的值; 方便代值计算函数值。
顶点式：y = a(x - h)² + k (a≠0)
- 特点：直接看出顶点坐标(h, k)和对称轴 x = h; 便于求最大值/最小值。
交点式：y = a(x - x₁)(x - x₂) (a≠0)
- 特点：直接看出与x轴的两个交点 (x₁, 0) 和 (x₂, 0); 在已知两个交点坐标时使用方便。

1.3 形式之间的转化

一般式 → 顶点式：配方法 (核心)
- y = a(x + b/2a)² + (4ac - b²)/4a, 顶点坐标 (-b/2a, (4ac - b²)/4a)
顶点式 → 一般式：展开合并同类项
交点式 → 一般式：展开合并同类项

二、图像与性质

2.1 图像：抛物线

形状：开口向上 (a > 0), 开口向下 (a < 0)
对称轴：直线 x = -b/2a (顶点式的对称轴是 x = h)
顶点：坐标为 (-b/2a, (4ac - b²)/4a) (顶点式的顶点是 (h, k))
- 最高点/最低点：a > 0 时，顶点是最低点，函数有最小值；a < 0 时，顶点是最高点，函数有最大值。
与y轴的交点：(0, c)
与x轴的交点：方程 ax² + bx + c = 0 的根
- Δ = b² - 4ac > 0: 抛物线与x轴有两个交点
- Δ = b² - 4ac = 0: 抛物线与x轴有一个交点 (与x轴相切)
- Δ = b² - 4ac < 0: 抛物线与x轴没有交点

2.2 性质

开口方向：由 a 的符号决定
对称性：关于对称轴对称
顶点坐标：决定函数的最大值/最小值
增减性：
- a > 0 时，对称轴左侧，y随x增大而减小；对称轴右侧，y随x增大而增大。
- a < 0 时，对称轴左侧，y随x增大而增大；对称轴右侧，y随x增大而减小。
平移：
- y = ax² → y = a(x - h)² + k : 先左右平移 |h| 个单位 (h > 0 向右，h < 0 向左)，再上下平移 |k| 个单位 (k > 0 向上，k < 0 向下)。

三、解析式求法

3.1 待定系数法

原理：根据已知条件列方程组，解方程组求出未知系数。
步骤：
1. 选择适当的函数形式 (一般式、顶点式、交点式)
2. 根据已知条件列方程组 (通常需要三个条件)
3. 解方程组，求出未知系数
4. 写出函数解析式

3.2 常见题型

已知三个点坐标，求解析式 (一般选择一般式)
已知顶点坐标和另一个点坐标，求解析式 (一般选择顶点式)
已知与x轴的两个交点坐标和另一个点坐标，求解析式 (一般选择交点式)
已知对称轴和一个点坐标，求解析式 (需要结合对称性找另一个点，再选择合适的形式)

四、应用

4.1 最大值/最小值问题

利用顶点坐标求解
实际问题建模：建立二次函数模型，求解最大值/最小值

4.2 与坐标轴交点问题

求与x轴交点：解方程 ax² + bx + c = 0
求与y轴交点：令 x = 0, 求 y 的值

4.3 图象与其他函数/图形的综合问题

直线与抛物线的交点问题
涉及面积计算的问题
动态问题：点在线段/抛物线上移动，求线段长度/图形面积的最值

五、根的判别式与交点个数

5.1 根的判别式 (Δ = b² - 4ac)

Δ > 0：方程 ax² + bx + c = 0 有两个不相等的实数根；抛物线与x轴有两个交点。
Δ = 0：方程 ax² + bx + c = 0 有两个相等的实数根 (重根)；抛物线与x轴有一个交点 (相切)。
Δ < 0：方程 ax² + bx + c = 0 没有实数根；抛物线与x轴没有交点。

5.2 交点个数与 Δ 的关系

两个交点 <=> Δ > 0
一个交点 (相切) <=> Δ = 0
没有交点 <=> Δ < 0

六、注意事项

a ≠ 0 的条件始终不能忘记
注意二次函数与其他知识的综合应用 (例如：三角形、四边形、相似三角形、方程、不等式等)
配方法是解决二次函数问题的核心方法，务必熟练掌握
注意数形结合，利用图像帮助理解和解决问题。
在解决实际问题时，注意自变量的取值范围。

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