《五年级四,五单元思维导图数学》

一、四单元：多边形的面积

1. 平行四边形的面积

• 定义： 两组对边分别平行的四边形。
• 性质：
  • 对边平行且相等。
  • 对角相等，邻角互补。
  • 两条对角线互相平分。
• 面积公式：
  • S = 底 × 高 (S = a × h)
• 推导过程： 通过割补法，将平行四边形转化为长方形，长方形的面积等于平行四边形的面积。
• 重点题型：
  • 已知底和高，求面积。
  • 已知面积和底（或高），求高（或底）。
  • 组合图形中平行四边形面积的计算。
  • 实际应用问题，如计算草坪面积、花坛面积等。

2. 三角形的面积

• 定义： 由三条线段围成的图形。
• 性质：
  • 内角和为180度。
  • 任意两边之和大于第三边。
• 面积公式：
  • S = 底 × 高 ÷ 2 (S = a × h ÷ 2)
• 推导过程： 通过两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形，平行四边形的面积是三角形面积的2倍。
• 重点题型：
  • 已知底和高，求面积。
  • 已知面积和底（或高），求高（或底）。
  • 不同类型的三角形（锐角、直角、钝角）面积的计算。
  • 三角形的等底等高关系。
  • 实际应用问题，如计算红领巾面积、三角形土地面积等。

3. 梯形的面积

• 定义： 只有一组对边平行的四边形。
• 性质：
  • 上底和下底平行。
  • 腰可以相等，也可以不相等。
  • 直角梯形有一个角是直角。
  • 等腰梯形的两腰相等，两底角相等。
• 面积公式：
  • S = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2 (S = (a + b) × h ÷ 2)
• 推导过程：
  • 方法一： 通过两个完全相同的梯形拼成一个平行四边形，平行四边形的面积是梯形面积的2倍。
  • 方法二： 将梯形分割成一个平行四边形和一个三角形，分别计算面积后再相加。
• 重点题型：
  • 已知上底、下底和高，求面积。
  • 已知面积、上底、下底，求高。
  • 特殊梯形（直角梯形、等腰梯形）面积的计算。
  • 组合图形中梯形面积的计算。
  • 实际应用问题，如计算堤坝横截面积、渠道横截面积等。

4. 组合图形的面积

• 定义： 由几个简单的图形组合而成的图形。
• 计算方法：
  • 分割法： 将组合图形分割成几个简单的图形，分别计算面积，然后相加。
  • 添补法： 在组合图形上添补一些图形，使它成为一个完整的图形，计算整个图形的面积，再减去添补部分的面积。
• 重点题型：
  • 根据图形特点选择合适的分割或添补方法。
  • 注意分割后图形的尺寸计算。
  • 实际应用问题，如计算房屋墙面面积、花园面积等。

5. 不规则图形的面积

• 方法：
  • 估算法： 用数格子的方法估算，每个格子代表一定的面积单位，数出完整的格子数和不完整的格子数，进行估算。
  • 近似图形法： 将不规则图形近似看作规则图形（如长方形、三角形等），计算近似面积。
• 重点题型：
  • 数格子时，注意半格的处理。
  • 根据实际情况选择合适的近似图形。

二、五单元：分数的加法和减法

1. 同分母分数加、减法

• 法则： 分母不变，分子相加减。
• 注意：
  • 计算结果能约分的要约成最简分数。
  • 计算结果是假分数，一般要化成带分数或整数。
• 重点题型：
  • 直接计算。
  • 解决实际问题。

2. 异分母分数加、减法

• 法则： 先通分，化成同分母分数，再按照同分母分数加减法计算。
• 通分： 找出几个分母的最小公倍数，把每个分数化成用最小公倍数作分母的分数。
• 注意：
  • 通分时，分子也要相应地扩大或缩小相同的倍数。
  • 计算结果能约分的要约成最简分数。
  • 计算结果是假分数，一般要化成带分数或整数。
• 重点题型：
  • 正确进行通分。
  • 准确计算。
  • 解决实际问题。

3. 分数加减混合运算

• 运算顺序：
  • 没有括号的，按照从左到右的顺序依次计算。
  • 有括号的，先算括号里面的，再算括号外面的。
• 计算方法：
  • 先观察算式特点，能简便计算的先简便计算。
  • 注意运算符号。
• 简便计算：
  • 加法交换律：a + b = b + a
  • 加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c)
  • 减法的性质：a - b - c = a - (b + c)
• 重点题型：
  • 灵活运用运算定律进行简便计算。
  • 混合运算的顺序。
  • 解决实际问题。

4. 分数加减法的应用

• 解决问题的步骤：
  • 读懂题意，分析数量关系。
  • 找出单位“1”。
  • 列出算式，正确计算。
  • 检验答案。
• 重点题型：
  • 求比一个数多（少）几分之几的数。
  • 解决含有分数的实际问题，如工程问题、行程问题等。
  • 注意单位“1”的转化。

5. 整数加法的运算定律推广到分数加法

• 加法交换律： a + b = b + a
• 加法结合律： (a + b) + c = a + (b + c)
• 意义： 整数加法的运算定律同样适用于分数加法，可以使计算更简便。
• 重点题型：
  • 灵活运用运算定律进行简便计算。
  • 注意观察算式特点。