《基本初等函数思维导图》
I. 引言
基本初等函数是构成高等数学的基石，深入理解它们的定义、性质、图像对于掌握后续数学知识至关重要。本思维导图旨在系统梳理基本初等函数，并深入探讨其相互联系，帮助读者构建完整的知识体系。
II. 基本初等函数
A. 常数函数
- 定义： f(x) = c (c为常数)
- 性质：
- 值域：{c}
- 单调性：无 (恒为常数)
- 奇偶性：偶函数 (当 c ≠ 0)
- 图像：一条水平直线
- 应用： 积分常数，表达特定状态
B. 幂函数
- 定义： f(x) = xα (α为实数)
- 性质：
- 定义域：取决于α
- 值域：取决于α
- 单调性：取决于α（α>0时，通常在(0, +∞)单调递增；α<0时，通常在(0, +∞)单调递减）
- 奇偶性：取决于α（α为整数时，α为奇数则为奇函数，α为偶数则为偶函数）
- 图像：需要考虑α的不同取值，如 α=1, 2, 1/2, -1
- 常见幂函数：
- y = x (正比例函数)
- y = x2 (二次函数)
- y = x3 (立方函数)
- y = √x (平方根函数)
- y = 1/x (反比例函数)
- 应用： 物理学 (平方反比定律)，几何学 (面积和体积计算)
C. 指数函数
- 定义： f(x) = ax (a>0, a≠1)
- 性质：
- 定义域：(-∞, +∞)
- 值域：(0, +∞)
- 单调性：
- a>1时，单调递增
- 0<a<1时，单调递减
- 奇偶性：非奇非偶
- 恒过点 (0, 1)
- 图像：一条单调曲线，与x轴无限接近
- 重要指数函数： y = ex (自然指数函数)
- 应用： 增长模型 (人口增长)，衰减模型 (放射性衰变)
D. 对数函数
- 定义： f(x) = logax (a>0, a≠1)
- 性质：
- 定义域：(0, +∞)
- 值域：(-∞, +∞)
- 单调性：
- a>1时，单调递增
- 0<a<1时，单调递减
- 奇偶性：非奇非偶
- 恒过点 (1, 0)
- 图像：一条单调曲线，与y轴无限接近
- 重要对数函数： y = ln x (自然对数函数，底数为e), y = log x (常用对数函数，底数为10)
- 对数恒等式： alogax = x
- 对数换底公式： logab = logcb / logca
- 应用： 声音强度 (分贝)，地震强度 (里氏震级)
E. 三角函数
- 定义： 基于单位圆的三角比
- 正弦函数：y = sin x
- 余弦函数：y = cos x
- 正切函数：y = tan x
- 余切函数：y = cot x
- 性质：
- 定义域：
- sin x, cos x: (-∞, +∞)
- tan x: x ≠ kπ + π/2 (k ∈ Z)
- cot x: x ≠ kπ (k ∈ Z)
- 值域：
- sin x, cos x: [-1, 1]
- tan x, cot x: (-∞, +∞)
- 周期性：
- sin x, cos x: T = 2π
- tan x, cot x: T = π
- 奇偶性：
- sin x, tan x: 奇函数
- cos x: 偶函数
- cot x: 奇函数
- 图像：波动曲线
- 定义域：
- 三角恒等式：
- sin2x + cos2x = 1
- tan x = sin x / cos x
- 应用： 物理学 (简谐运动)，工程学 (信号处理)
III. 函数间的联系
A. 指数函数与对数函数
- 互为反函数： y = ax 与 y = logax 互为反函数
- 图像关于y=x对称
- 性质互补： 指数函数的单调递增/递减对应对数函数的单调递增/递减
B. 三角函数与反三角函数
- 互为反函数： y = sin x 的反函数是 y = arcsin x (反正弦函数)，以此类推
- 反三角函数定义域受限： arcsin x, arccos x 的定义域为 [-1, 1]
C. 函数复合
- 复合函数： 将一个函数的输出作为另一个函数的输入，形成新的函数
- 复合函数性质： 由组成函数的性质决定，需要逐层分析
IV. 总结
掌握基本初等函数的定义、性质、图像以及它们之间的联系是学习高等数学的基础。通过本思维导图，希望读者能够对基本初等函数形成系统而深刻的理解，为后续学习奠定坚实的基础。需要不断练习，结合具体问题，才能真正掌握这些函数。