《多边形思维导图内容》

一、基本概念

• 定义： 由三条或三条以上的线段首尾顺次连接所组成的封闭图形。
• 组成要素：
  • 边： 构成多边形的线段。
  • 顶点： 相邻两边的公共端点。
  • 内角： 多边形内部，相邻两边所夹的角。
  • 外角： 多边形一条边与另一条边的延长线所夹的角。
  • 对角线： 连接多边形不相邻两个顶点的线段。
• 分类：
  • 按边数分：
    • 三角形（3边）
    • 四边形（4边）
    • 五边形（5边）
    • 六边形（6边）
    • …
    • n边形（n边，n≥3且为整数）
  • 按角度分：
    • 凸多边形： 多边形的任意一边所在直线，整个多边形都在这条直线的同一侧。所有内角都小于180°。
    • 凹多边形： 多边形的某一边所在直线，多边形的部分区域位于这条直线的两侧。存在内角大于180°。
  • 按边和角的关系分：
    • 正多边形： 各边都相等，各角都相等的多边形。

二、三角形

• 定义： 由三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形。
• 基本性质：
  • 三角形内角和定理： 三角形三个内角的和等于180°。
  • 三角形三边关系： 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
  • 三角形外角性质：
    • 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
    • 三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角。
• 分类：
  • 按角分：
    • 锐角三角形： 三个角都是锐角。
    • 直角三角形： 有一个角是直角。
    • 钝角三角形： 有一个角是钝角。
  • 按边分：
    • 不等边三角形： 三条边都不相等。
    • 等腰三角形： 有两条边相等。
      • 等边三角形： 三条边都相等（也叫正三角形）。
• 重要线段：
  • 高： 从三角形的一个顶点向它的对边(或对边所在的直线)作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
  • 中线： 连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
  • 角平分线： 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
• 特殊三角形：
  • 直角三角形：
    • 勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。（a²+b²=c²）
    • 30°角所对的直角边等于斜边的一半。
  • 等腰三角形：
    • 两腰相等。
    • 两底角相等。
    • 顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 (三线合一)。
  • 等边三角形：
    • 三边相等，三个内角都等于60°。
    • 三线合一 (任何一边的高、中线、角平分线重合)。
• 面积公式：
  • S = 1/2 底 高
  • S = 1/2 a b * sinC (a,b为两边，C为夹角)
  • 海伦公式：S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)) (p=(a+b+c)/2， a,b,c为三边)

三、四边形

• 定义： 由四条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形。
• 内角和： 360°
• 分类：
  • 任意四边形
  • 特殊四边形：
    • 平行四边形： 两组对边分别平行的四边形。
      • 性质：
        • 对边平行且相等。
        • 对角相等，邻角互补。
        • 对角线互相平分。
      • 判定：
        • 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
        • 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
        • 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
        • 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
        • 对角线互相平分的四边形是平行四边形。
    • 矩形： 有一个角是直角的平行四边形。
      • 性质：
        • 具有平行四边形的所有性质。
        • 四个角都是直角。
        • 对角线相等。
      • 判定：
        • 有一个角是直角的平行四边形是矩形。
        • 对角线相等的平行四边形是矩形。
        • 有三个角是直角的四边形是矩形。
    • 菱形： 有一组邻边相等的平行四边形。
      • 性质：
        • 具有平行四边形的所有性质。
        • 四条边都相等。
        • 对角线互相垂直平分，且平分每一组对角。
      • 判定：
        • 有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
        • 对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
        • 四条边都相等的四边形是菱形。
    • 正方形： 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形。
      • 性质：
        • 具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质。
        • 四条边都相等。
        • 四个角都是直角。
        • 对角线相等且互相垂直平分，并且平分每一组对角。
      • 判定：
        • 有一个角是直角的菱形是正方形。
        • 有一组邻边相等的矩形是正方形。
        • 对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形。
    • 梯形： 只有一组对边平行的四边形。
      • 腰： 不平行的两边。
      • 底： 平行的两边。
      • 高： 两底之间的距离。
      • 分类：
        • 等腰梯形： 两腰相等的梯形。
          • 性质： 同一底上的两个角相等，对角线相等。
        • 直角梯形： 有一个角是直角的梯形。
      • 中位线： 连接梯形两腰中点的线段。
        • 性质： 平行于两底，且等于两底和的一半。

四、多边形的内角和与外角和

• 内角和公式： (n-2) * 180° (n为边数，n≥3)
• 外角和： 所有外角之和等于360° (与边数无关)
• 正多边形每个内角的度数： (n-2) * 180° / n
• 正多边形每个外角的度数： 360° / n

五、镶嵌

• 定义： 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌。
• 条件： 拼接在同一个顶点处的几个角的和等于360°。
• 单独镶嵌：
  • 正三角形、正方形、正六边形可以单独镶嵌。
  • 一般的，正n边形满足 (n-2)*180/n 能整除 360 度，则可以单独镶嵌。
• 组合镶嵌： 两种或两种以上的多边形组合镶嵌。

六、多边形的面积

• 切割法： 将多边形分割成若干个三角形或四边形来计算。
• 补形法： 将多边形补充成规则的图形，然后计算。
• 割补法： 将多边形进行切割和补充，转换成规则的图形来计算。
• 常用面积公式：
  • 正方形：边长*边长
  • 长方形：长*宽
  • 平行四边形：底*高
  • 三角形：1/2底高
  • 梯形：1/2（上底+下底）高
  • 其他不规则多边形：根据情况选择合适的切割、补形或割补法。