《运输问题思维导图》
一、定义与概述
1.1 定义
- 将同质货物从多个供应地（起点）运往多个需求地（终点），以最小化总运输成本或最大化总利润。
1.2 关键要素
- 供应地： 货物来源地，拥有一定的供应量。
- 需求地： 货物目的地，存在一定的需求量。
- 单位运输成本/利润： 从一个供应地到某个需求地单位货物的运输成本或利润。
- 供应量： 每个供应地可以提供的货物数量。
- 需求量： 每个需求地需要的货物数量。
- 决策变量： 从每个供应地到每个需求地的运输量。
1.3 特点
- 结构化的线性规划问题。
- 易于用数学模型描述。
- 拥有专门的求解算法。
1.4 应用领域
- 物流管理：优化货物配送路线。
- 生产计划：分配产品到不同市场。
- 供应链管理：优化原材料和成品运输。
- 资源分配：分配资源到不同的项目或地区。
- 应急响应：优化救灾物资的分配。
二、数学模型
2.1 符号定义
m：供应地数量。n：需求地数量。i：供应地索引，i = 1, 2, ..., m。j：需求地索引，j = 1, 2, ..., n。ai：第i个供应地的供应量。bj：第j个需求地的需求量。cij：从第i个供应地到第j个需求地的单位运输成本。xij：从第i个供应地到第j个需求地的运输量（决策变量）。
2.2 目标函数 (最小化成本)
Min Z = Σ(i=1 to m) Σ(j=1 to n) cij * xij
2.3 约束条件
- 供应约束：
Σ(j=1 to n) xij ≤ ai, ∀i = 1, 2, ..., m(每个供应地的总运输量不能超过其供应量) - 需求约束：
Σ(i=1 to m) xij ≥ bj, ∀j = 1, 2, ..., n(每个需求地收到的总运输量必须满足其需求量) - 非负约束：
xij ≥ 0, ∀i, j(运输量不能为负)
2.4 平衡运输问题
- 总供应量等于总需求量：
Σ(i=1 to m) ai = Σ(j=1 to n) bj - 如果不是平衡问题，需要引入虚拟供应地或需求地进行转化。
2.5 不平衡运输问题
- 总供应量大于总需求量： 引入虚拟需求地，需求量等于总供应量减去总需求量，单位运输成本为0。
- 总供应量小于总需求量： 引入虚拟供应地，供应量等于总需求量减去总供应量，单位运输成本为0。
三、求解方法
3.1 初始可行解
- 西北角法： 从表格左上角开始，逐步分配运输量。
- 最小元素法： 优先选择单位运输成本最低的单元格进行分配。
- 沃格尔逼近法（VAM）： 计算每个供应地和需求地的“罚值”，选择罚值最大的行或列进行分配。 VAM通常能获得更好的初始解。
3.2 最优性检验
- 位势法（隐变量法/对偶变量法）： 用于检验当前解是否为最优解。
- 计算位势
ui和vj，使得ui + vj = cij(对于基本变量)。 - 计算检验数
dij = cij - ui - vj(对于非基本变量)。 - 如果所有检验数都非负，则当前解是最优解。
- 如果存在负的检验数，则需要进行调整。
- 计算位势
3.3 解的调整
- 闭回路法： 找到包含一个负检验数的非基本变量的闭回路。
- 调整量： 在闭回路的负单元格中选择最小的运输量作为调整量。
- 调整规则： 在闭回路中，交替加减调整量，保持供需平衡。
3.4 迭代过程
- 重复进行最优性检验和解的调整，直到所有检验数都非负，得到最优解。
3.5 特殊情况
- 退化解： 基本变量的数量小于
m + n - 1，需要引入零运输量单元格。 - 多重最优解： 存在检验数为零的非基本变量，表明存在多个最优解。
四、扩展与变体
4.1 最大化运输问题
- 将目标函数改为最大化总利润。
- 单位利润代替单位成本。
- 求解方法类似，但最优性检验和解的调整规则略有不同。
4.2 运输问题与指派问题
- 指派问题是特殊的运输问题，每个供应地和需求地的供应量和需求量都为1。
4.3 容量限制运输问题
- 对某些或所有运输路线增加容量限制，限制
xij的最大值。
4.4 多目标运输问题
- 存在多个目标需要优化，例如最小化成本和最小化运输时间。
4.5 动态运输问题
- 供应量、需求量和运输成本随时间变化。
五、软件与工具
5.1 线性规划求解器
- CPLEX
- Gurobi
- XPRESS
- LINDO/LINGO
5.2 编程语言
- Python (使用 PuLP, Pyomo 等库)
- MATLAB
- R
5.3 电子表格软件
- Microsoft Excel (使用 Solver 插件)
六、总结
运输问题是运筹学中的经典问题，具有广泛的应用。理解其数学模型、求解方法以及各种变体对于解决实际物流和资源分配问题至关重要。 掌握相关软件和工具可以更高效地解决复杂的运输问题。