《六年级数学数的整除思维导图图》

一、整除的概念与性质

1.1 整除的定义

• 定义： 对于整数a和非零整数b，如果存在整数q，使得a = bq，则称a能被b整除，记作b|a。
• 被除数、除数、商、余数： a是被除数，b是除数，q是商，余数为0。
• 反义词： 如果不存在整数q使得a=bq，则称a不能被b整除，记作b∤a。

1.2 整除的性质

• 传递性： 若a|b，b|c，则a|c。
• 可加性/可减性： 若a|b，a|c，则a|(b±c)。
• 倍数性质： 若a|b，则a|kb（k为任意整数）。
• 整除式拆分： 若a|b，a|c，且b=c+d，则a|d.（重要变式，解决复杂整除问题）
• 因子倍数互换： 如果 a|b 且 b|a， 那么 |a|=|b|。

二、因数与倍数

2.1 因数的定义

• 定义： 对于整数a和b，若a|b，则a是b的因数，也称为约数。
• 找因数的方法： 通常采用成对出现的方式，从小到大寻找，避免遗漏。 例如，12的因数有1, 2, 3, 4, 6, 12。
• 因数的个数： 一个数的因数个数是有限的。
• 最小的因数： 1是任何非零整数的因数。
• 最大的因数： 一个数本身是其最大的因数。

2.2 倍数的定义

• 定义： 对于整数a和b，若a|b，则b是a的倍数。
• 找倍数的方法： 依次乘以1, 2, 3,...，即可找到该数的倍数。 例如，3的倍数有3, 6, 9, 12,...
• 倍数的个数： 一个数的倍数个数是无限的。
• 最小的倍数： 一个数本身是其最小的倍数。

2.3 因数和倍数的关系

• 相互依存性： 因数和倍数是相互依存的概念，不能单独存在。 必须说“a是b的因数”，或“b是a的倍数”，而不能单独说“a是因数”或“b是倍数”。

三、能被特殊数整除的数的特征

3.1 能被2整除的数

• 特征： 个位是0, 2, 4, 6, 8的数。
• 本质： 偶数。

3.2 能被5整除的数

• 特征： 个位是0或5的数。

3.3 能被3整除的数

• 特征： 各个数位上的数字之和能被3整除。
• 判断方法： 将各个数位上的数字加起来，看结果是否能被3整除。

3.4 能被4 (或25) 整除的数

• 特征： 末两位数能被4（或25）整除。
• 判断方法： 只需要看这个数的末两位数即可。

3.5 能被8 (或125) 整除的数

• 特征： 末三位数能被8（或125）整除。

3.6 能被9整除的数

• 特征： 各个数位上的数字之和能被9整除。
• 判断方法： 与判断能被3整除的数类似。

3.7 能被11整除的数

• 特征： 奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除。
• 判断方法： 从右往左，奇数位上的数字相加得到一个和，偶数位上的数字相加得到另一个和，求这两个和的差的绝对值，如果能被11整除，则原数能被11整除。

3.8 其他常用能被整除的判断规则

• 能被6整除： 既能被2整除，又能被3整除。
• 能被12整除： 既能被3整除，又能被4整除。
• 能被15整除： 既能被3整除，又能被5整除。

四、质数与合数

4.1 质数的定义

• 定义： 只有1和它本身两个因数的数，称为质数（也称为素数）。
• 例子： 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...
• 最小的质数： 2。
• 特殊的质数： 2是唯一的偶数质数。

4.2 合数的定义

• 定义： 除了1和它本身以外，还有其他因数的数，称为合数。
• 例子： 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ...
• 最小的合数： 4。

4.3 1的特殊性

• 既不是质数，也不是合数。
• 原因： 只有1个因数，不符合质数和合数的定义。

4.4 质因数分解

• 定义： 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做质因数分解。
• 方法： 短除法或分解树。
• 唯一性： 任何一个合数的质因数分解是唯一的（不考虑因数的顺序）。
• 应用： 求最大公约数和最小公倍数的重要工具。

五、公因数与公倍数

5.1 公因数的定义

• 定义： 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。
• 最大公因数（GCD）： 几个数公有的因数中，最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。
• 求最大公因数的方法：
  • 列举法： 找出每个数的因数，然后找出公有的，再找出最大的。
  • 短除法：用公有的质因数去除，直到没有公有的质因数为止，所有除数的乘积就是最大公因数。
  • 质因数分解法：将每个数分解质因数，然后找出公有的质因数，将这些质因数相乘，所得的积就是最大公因数。
  • 辗转相除法（欧几里得算法）：适用于大数的最大公因数求解。

5.2 公倍数的定义

• 定义： 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。
• 最小公倍数（LCM）： 几个数公有的倍数中，最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
• 求最小公倍数的方法：
  • 列举法：找出每个数的倍数，然后找出公有的，再找出最小的。
  • 短除法： 用公有的质因数去除，直到没有公有的质因数为止，所有除数和商的乘积就是最小公倍数。
  • 质因数分解法：将每个数分解质因数，然后找出所有质因数（相同的取最高次幂），将这些质因数相乘，所得的积就是最小公倍数。

5.3 最大公因数和最小公倍数的关系

• 性质： 两个数的乘积等于它们的最大公因数和最小公倍数的乘积。 (a b = GCD(a, b) LCM(a, b))

5.4 互质数

• 定义： 公因数只有1的两个数，叫做互质数。
• 特殊情况：
  • 两个质数一定是互质数。
  • 1和任何自然数都是互质数。
  • 相邻的两个自然数是互质数。
• 互质数的最大公因数： 1。
• 互质数的最小公倍数： 两个数的乘积。

六、总结与应用

数的整除是小学数学的重要组成部分，是学习分数、小数等知识的基础。 熟练掌握整除的性质、各种数的整除特征、质数与合数的概念、公因数与公倍数的求法，能有效提高解题效率，培养逻辑思维能力。 在实际应用中，整除的知识广泛应用于解决实际问题，例如分东西、分组、求最大容量等等。