《高一上函数板块思维导图》

I. 函数概念与表示

• 1.1 集合
  • 定义：具有某种特定性质的对象的全体。
  • 表示方法：列举法，描述法，图像法（韦恩图）。
  • 元素与集合的关系：属于(∈)，不属于(∉)。
  • 集合间的关系：子集 (⊆)，真子集 (⊂)，相等 (=)。
  • 空集 (∅)：不含任何元素的集合，是任何集合的子集。
  • 全集 (U)：研究范围内所有元素的集合。
  • 集合运算：
    • 并集 (A∪B)：所有属于A或属于B的元素组成的集合。
    • 交集 (A∩B)：所有既属于A又属于B的元素组成的集合。
    • 补集 (CUA)：U中不属于A的所有元素组成的集合。
  • 运算性质：A∪∅ = A, A∩∅ = ∅, A∪A = A, A∩A = A, CU(CUA) = A, A∪CUA = U, A∩CUA = ∅。
• 1.2 函数
  • 定义：设A, B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f: A→B为从集合A到集合B的一个函数。
  • 构成要素：定义域 (A)，值域 (f(A) ⊆ B)，对应关系 (f)。
  • 定义域：使函数有意义的自变量x的取值范围。
  • 值域：函数值的集合。
  • 对应关系：将定义域中的元素映射到值域中的规则。
  • 表示方法：解析式法 (f(x) = ...)，图像法，列表法。
• 1.3 函数的图像
  • 定义：以自变量x为横坐标，函数值f(x)为纵坐标的点(x, f(x))组成的集合。
  • 图像的意义：直观地反映函数的性质。
  • 作图方法：描点法，图像变换法。
  • 图像变换：
    • 平移变换：左加右减，上加下减。 y = f(x) → y = f(x ± a) ± b
    • 伸缩变换： y = f(ax), y = Af(x)
    • 对称变换：关于x轴对称 y = -f(x)，关于y轴对称 y = f(-x)，关于原点对称 y = -f(-x)。
  • 分段函数：在定义域的不同部分有不同的解析式的函数。

II. 基本初等函数I（指数函数与对数函数）

• 2.1 指数函数
  • 定义：函数 y = ax (a > 0, a ≠ 1)。
  • 图像：a > 1时，单调递增；0 < a < 1时，单调递减。恒过点 (0, 1)。
  • 性质：
    • 定义域：R。
    • 值域：(0, +∞)。
    • 当x > 0时，a > 1, ax > 1；0 < a < 1, 0 < ax < 1。
    • 当x < 0时，a > 1, 0 < ax < 1；0 < a < 1, ax > 1。
    • 是（0, +∞）上的单调函数。
  • 运算性质：
    • am · an = am+n
    • am / an = am-n
    • (am)n = amn
    • (ab)n = anbn
• 2.2 对数函数
  • 定义：函数 y = logax (a > 0, a ≠ 1)。
  • 图像：a > 1时，单调递增；0 < a < 1时，单调递减。恒过点 (1, 0)。
  • 性质：
    • 定义域：(0, +∞)。
    • 值域：R。
    • 当x > 1时，a > 1, logax > 0；0 < a < 1, logax < 0。
    • 当0 < x < 1时，a > 1, logax < 0；0 < a < 1, logax > 0。
    • 是(0, +∞)上的单调函数。
  • 运算性质：
    • loga(MN) = logaM + logaN
    • loga(M/N) = logaM - logaN
    • logaMn = nlogaM
    • 换底公式：logab = logcb / logca
  • 对数与指数的关系：ax = N ⇔ x = logaN
• 2.3 幂函数
  • 定义：函数 y = xa (a ∈ R)。
  • 图像：受 a 的影响，图像各异，但都过点 (1, 1)。
  • 性质：
    • 定义域和值域随 a 的变化而变化。
    • 单调性受 a 的影响。
    • 常见幂函数的图像：y = x, y = x2, y = x3, y = 1/x, y = √x。

III. 函数的性质

• 3.1 单调性
  • 定义：
    • 增函数：若对于定义域内的任意两个数x1, x2，当x1 < x2时，都有f(x1) < f(x2)，则称f(x)为增函数。
    • 减函数：若对于定义域内的任意两个数x1, x2，当x1 < x2时，都有f(x1) > f(x2)，则称f(x)为减函数。
  • 判断方法：
    • 定义法：任取x1, x2 ∈ D，且x1 < x2，判断f(x1) - f(x2)的符号。
    • 导数法（后续学习）：f'(x) > 0，则f(x)为增函数；f'(x) < 0，则f(x)为减函数。
    • 复合函数：同增异减。
  • 应用：比较大小，解不等式，求值域。
• 3.2 奇偶性
  • 定义：
    • 奇函数：对于定义域内的任意x，都有f(-x) = -f(x)。图像关于原点对称。
    • 偶函数：对于定义域内的任意x，都有f(-x) = f(x)。图像关于y轴对称。
  • 判断方法：
    • 定义法：判断f(-x)与f(x)的关系。
    • 图像法：观察图像是否关于原点或y轴对称。
  • 性质：
    • 奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同。
    • 偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。
    • 若奇函数在x=0处有定义，则f(0)=0。
  • 应用：求解析式，判断单调性，简化计算。
• 3.3 周期性
  • 定义：若存在常数T，使得对于定义域内的任意x，都有f(x+T) = f(x)，则称f(x)为周期函数，T为周期。
  • 性质：若T是周期，则nT也是周期（n∈Z）。
  • 图像：函数图像具有重复性。
  • 应用：求函数值，简化计算。

IV. 函数的应用

• 4.1 函数与方程
  • 函数的零点：使f(x) = 0的x的值。
  • 方程的根：方程f(x) = 0的解。
  • 函数零点与方程根的关系：函数的零点就是方程的根。
  • 零点存在性定理：若f(a) · f(b) < 0，则在(a, b)内至少存在一个零点。
  • 二分法：逐步缩小零点所在区间，求近似解。
• 4.2 函数模型及其应用
  • 常见函数模型：一次函数，二次函数，指数函数，对数函数，幂函数。
  • 建模步骤：
    • 阅读理解，明确已知条件和要求解的问题。
    • 建立数学模型：将实际问题转化为数学问题。
    • 求解数学模型：利用数学知识解决数学问题。
    • 回归实际：将数学问题的解转化为实际问题的解。
  • 常见的应用场景：增长率问题，利润问题，优化问题，距离问题等。

V. 易错点与注意事项

• 定义域优先原则：函数问题首先要考虑定义域。
• 复合函数的定义域：外层函数的定义域要考虑内层函数的值域。
• 对数函数的真数必须大于0，底数大于0且不等于1。
• 指数函数的底数大于0且不等于1。
• 判断奇偶性时，首先要判断定义域是否关于原点对称。
• 求函数单调区间时，要写成区间形式，并注意左右端点的开闭。
• 应用零点存在性定理时，要注意函数的连续性。
• 指数运算和对数运算的性质要熟练掌握。
• 图像变换的顺序：先平移后伸缩。

这个思维导图涵盖了高一上学期函数板块的主要内容，并详细列出了各个知识点的定义、性质、图像、应用以及易错点，方便学生系统地学习和复习。